löse die Betragsgleichung, bestimme den Definitionsbereich

Question

Hallo!

Aufgabe: Ich soll hier die Betragsgleichung lösen, aber mein Ergebnis ist noch nicht ganz korrekt. Man hat hier 3 Beträge, deswegen wusste ich nicht, wie ich da genau rechnen soll. Was ist hier falsch? Könnte jemand mal einen Blick werfen?

k) \( |x-5|+|x+1|-2|x-2|=1 \)

Problem/Ansatz:

k) \( |x-5|+|x+1|-2|x-2|=1 \)
\( x=5 \)
\( x=-1 \)
\( \frac{1}{-\frac{1}{2}(2)(5)} \quad x=2 \)
1. \( F .: \rightarrow x<-1 \Rightarrow|x-5|=-(x-5 \mid \)
\( |x+1|=-(x+1) \)
\( |x-2|=-(x-2) \)
\( -x+5-x-1+2 x-4=1 \)
\( 1=1 \)
2. \( \mp:-1 \leqslant x<5 \Rightarrow|x-5|=-x+5 \)
\( |x+1|=x+1 \)
\( |x-2|=-x+2 \)
\( -x+5+x+1-2(-x+2)=1 \)
\( 5+1+2 x-4=1 \quad 6+ \)
\( 2-1=-2 x \)
\( -2 x=1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \)
3. \( F: x>5 \Rightarrow|x-5|=x-5 ;|x+1|=x+1,|x-2|= \)
\( x^{x}-5+x+1-2 x+4=1 \)

Comments

Die 3 Fälle sind korrekt.

Den Rest hab ich nicht nachgerechnet.

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Die 3 Fälle sind korrekt.

Leider nicht.

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Ich korrigiere:

1. Fall:

x< -1

2. Fall: -1<=x<2

3.Fall: 2<=x<5

4.Fall: x>=5

Answer 1

Die Lösungen sind -0,5 und 4,5.

Es war fehlerhaft von dir, den Term

|x-2|

für das gesamte Intervall \( -1 \leqslant x<5 \)  einheitlich als

-(x-2)

zu übersetzen.

Comments

Ich hab‘s nun erneut ausgerechnet und so sieht‘s dann aus. Passen alle Rechenschritte soweit?

k) \( |x-5|+|x+1|-2|x-2|=1 \)
Null stellen: \( x=5 ; x=-1 ; x=2 \)
1. Fall: \( x<-1 \Rightarrow|x-5|=-(x-5) \)
\( |x+1|=-(x+1) \)
\( |x-2|=-(x-2) \)
\( -x+5-x-1+2 x-4=1 \)
\( 1=1 \)
2. Fall: \( -1 \leq x<2 \Rightarrow|x-5|=-(x-5) \)
\( |x+1|=x+1 \)
\( |x-2|=-(x-2) \)
\( -x+5+x+1+2(x-2)=1 \)
\( 2 x=1-5-1+4 \Longleftrightarrow 2 x=-1 \)
\( x=-\frac{1}{2} \)

3. Fall : \( 2 \leq x<5 \Rightarrow-(x-5) ; x+1 i x-2 i \)
\( -x+5+x+1-2 x+4=1 \)
\( -2 x=1-5-1-4 \Leftrightarrow-2 x=-9 \)
\( x=\frac{9}{2} \)
4. Fall: \( x \geqslant 5 \)
\( x-5+x+1-2 x+4=1 \)
\( 0=1 \)

Lösung={-1/2,9/2}

Answer 2

Es fehlt noch das Aufsplitten bei \(x=2\). Dir geht die Lösung \(x=\frac 92\) verloren, da du das nicht gemacht hast.

Grundsätzlicher Hinweis für Betragsgleichungen mit linearen Termen:

Die Nullstellen der Betragsterme geben an, wie der Definitionsbereich zerlegt werden sollte:

\(-1,\: 2,\: 5\)

Bestimme den Funktionswert von

\(f(x) = |x-5|+|x+1|-2|x-2|\) an diesen Stellen und jeweils an einer Teststelle links von -1 und rechts von 5:

x	-2	-1	2	5	6
f(x)	0	0	6	0	0

Jetzt weißt du sofort, dass f(x) links von -1 und rechts von 5 konstant Null ist.

Außerdem siehst du sofort, dass es je eine Lösung auf (-1,2) und (2,5) gibt.

Jetzt brauchst du nur für diese beiden Fälle das Vorzeichengefummel machen. Falls du aber auch gut lineare Funktionen durch zwei Punkte berechnen kannst, bist du auch ruckzuck fertig:

\((-1;2),(2;6) \Rightarrow 2x+2 \stackrel{!}{=}1\Rightarrow x =-\frac 12\)

\((2;6),(5,0) \Rightarrow -2x+10 \stackrel{!}{=}1\Rightarrow x =\frac 92\)

Comments

Vielen Dank tranceloaction!

Oben habe ich's erneut ausgerechnet, ich hab das ganze ein wenig anders aufegschrieben, aber im Endeffekt kommt es auf's gleiche heraus.