Integration: Vier umfangreiche Aufgaben. Partialbruchzerlegung, Mantelfläche eines Rotationskörpers…

Question

Berechnen Sie folgende Integrale mithilfe:

1a) einer PBZ \( \int \frac { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } { ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) } d x \) (Hinweis: \( \int \frac { a } { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \arctan \left( \frac { x } { a } \right) \))

1b) partieller Integration: \(  \int \ln ^ { 2 } | x | d x , \int e ^ { - x } \sin ( 2 x ) dx \)

1c) der Substitutionsregel: \( \int \sin \sqrt { x } \mathrm { d } x , t : = \sqrt { x } \)

2a) Der Graph der Funktion \( f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , f ( x ) = ( x + a ) \mathrm { e } ^ { - x } \) schließt mit der x-Achse für -a ≤ x ≤ b ein Flächenstück ein. Berechnen Sie abhängig von a,b ∈ ℝ dessen Flächeninhalt A = A(a,b). Bestimmen Sie ferner den Grenzwert \( \lim\limits_{b\to\infty} A(a,b) \).

2b) Berechnen Sie das Volumen und die Mantelfläche desjenigen Rotationskörpers, der durch eine Rotation des Funktionsgraphen \( y = \frac{r}{h} x \) um die x-Achse eingeschränkt auf das Intervall [0, h] entsteht.

3) Sei f : ℝ → ℝ stetig differenzierbar und c : [a, b] → ℝ² eine Kurve definiert durch \( c ( t ) = ( f ( t ) \cos t , f ( t ) \sin t ) ^ { T } \). Zeigen Sie \( L ( \boldsymbol { c } ) = \int _ { a } ^ { b } \sqrt { ( f ( t ) ) ^ { 2 } + \left( f ^ { \prime } ( t ) \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } t \) und bestimmen Sie die Bogenlänge im konkreten Fall \( f ( t ) = e ^ { 2 t } \).

4) Durch \( c ( t ) = ( t \cos t , t \sin t , 2 t ) ^ { T } \) sei für 0 ≤ t ≤ b ∈ ℝ ein Draht parametrisiert. Bestimmen Sie α, β, γ > 0 so, dass der Draht auf dem Kegel \( \alpha x ^ { 2 } + \beta y ^ { 2 } - \gamma z ^ { 2 } = 0 \) liegt. Skizzieren Sie die Projektion des Drahtes in die x-y-Ebene. Berechnen Sie für \( f ( x , y , z ) = \sqrt { 5 + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 2 } } \) das Kurvenintegral \( \int _ { c } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s \).

Answer 1

Das ist ziemlich viel, aber ich versuche so gut zu helfen, wie es geht.

Aufgabe 1a:

Hier musst du wie gesagt eine Partialbruchzerlegung durchführen. In diesem Fall sieht die folgendermaßen aus:

Du forderst, dass sich der Bruch zerlegen lässt zu:

$$ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } { ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) } = \frac { a } { x - 1 } + \left. \frac { b x + c } { x ^ { 2 } + 1 } \quad \right| · ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) } \\ { x ^ { 2 } + 3 x + 2 = a \left( x ^ { 2 } + 1 \right) + ( b x + c ) ( x - 1 ) } \end{array} $$

Koeffizientenvergleich: $$ x ^ { 2 } : 1 = a + b \\ { x : 3 = c - b } \\ { 1 : 2 = a - c } $$

Lösung: $$ { a = 3 } \\ { b = - 2 } \\ { c = 1 } $$

$$ \Rightarrow \frac { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } { ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) } = \frac { 3 } { x - 1 } + \frac { - 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \\ \int \frac { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } { ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) } d x = \int \left( \frac { 3 } { x - 1 } + \frac { - 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \right) d x \\ = 3 \log | x - 1 | - \log \left| x ^ { 2 } + 1 \right| + \arctan x + C $$

Aufgabe 1b:

Hier ist ja wieder bereits vorgegeben, wie man vorgehen soll: partielle Integration lautet

∫uv' = uv - ∫u'v

Bei der ersten Aufgabe wählst du u = ln²|x|, v' = 1 und erhältst:

∫ln²|x| dx = x ln²|x| - ∫x*(2ln|x|)/x dx = x ln²|x| - 2∫ln|x| dx

= xln²|x| - 2(x ln|x| - ∫x/x dx)

= xln²|x| -2x ln|x| + 2x + C

Für die zweite ist es eigentlich egal, was du als u und was als v wählst. Ich nehme mal v' = e^-x, u = sin(2x):

∫e^-xsin(2x) dx = -e^-x sin(2x) - ∫(-e^-x 2cos(2x))dx

= -e^-x sin(2x) + 2∫(e^-x cos(2x))dx

= -e^-x sin(2x) - 2e^-x cos(2x) - 4∫(e^-x sin(2x))dx + C | +4∫(e^-x sin(2x))dx

5*∫e^-xsin(2x) dx = -e^-x sin(2x) - 2e^-x cos(2x) + C

∫e^-xsin(2x) dx = 1/5 (-e^-x sin(2x) - 2e^-x cos(2x) + C)

Aufgabe 1c:

Substituiert man t = √x, dann erhält man mit x = t²

dx = 2t dt

Und damit das neue Integral:

∫sin(√x) dx = ∫sin(t) *2t dt = 2∫t sin(t) dt

Das wird nun wieder mit partieller Integration gelöst:

2∫t sin(t) dt = -2t cos(t) + 2∫cos(t) dt = -2t cos(t) + 2sin(t) + C

Resubstituieren liefert:

∫sin(√x) dx = -2√x cos(√x) + 2 sin(√x) + C

Aufgabe 2a:

Zu berechnen ist das Integral:

$$ \begin{array} { l } { \int _ { - a } ^ { b } ( x + a ) e ^ { - x } d x = - ( x + a ) \left. e ^ { - x } \right| _ { - a } ^ { b } + \int _ { - a } ^ { b } e ^ { - x } d x } \\ { = - ( b + a ) e ^ { - b } - e ^ { - b } + e ^ { a } = e ^ { a } - e ^ { - b } ( 1 + a + b ) } \end{array} $$

A(a,b) = e^a-e^-b(1+a+b)

Für b gegen Unendlich fällt die Exponentialfunktion deutlich schneller ab als der lineare Term b wächst, darum geht b*e^-b gegen 0. Außerdem geht auch (1+a)*e^-b gegen 0, damit geht die Fläche gegen

A = e^a

Aufgabe 2b:

Es gilt:

V = π∫f(x)² dx

M = 2π ∫f(x)√(1+f'(x)²) dx

In diesem Fall:
f(x) = r/h x
f²(x) = r²/h² x²

f'(x) = r/h
f'²(x) = r²/h²

Also:

$$ V = \pi \int _ { 0 } ^ { h } \frac { r ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } x ^ { 2 } d x = \frac { \pi r ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { h } x ^ { 2 } d x = \frac { \pi r ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \left[ \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { h } = \frac { 1 } { 3 } \pi r ^ { 2 } h $$ $$ M = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { h } \frac { r } { h } x \sqrt { 1 + r ^ { 2 } / h ^ { 2 } } d x = \frac { 2 \pi r } { h } \sqrt { 1 + r ^ { 2 } / h ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { h } x d x $$ $$ M = \frac { 2 \pi r } { h } \sqrt { 1 + r ^ { 2 } / h ^ { 2 } } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { h } = \pi r \sqrt { h ^ { 2 } + r ^ { 2 } } $$

Es handelt sie bei der Rotationsfigur übrigens um einen Kegel mit dem Radius r und der Höhe h.

Aufgabe 3:

Die Definition der Bogenlänge lautet:

$$ L = \int _ { c } d s = \int _ { a } ^ { b } \left| c ^ { \prime } ( t ) \right| d t $$

Nach der Produktregel gilt:

c'(t) = (-f(t)sin(t) + f'(t)cos(t), f(t)cos(t) + f'(t)sin(t))

Also:

|c'(t)|² = f(t)²sin²(t) -f(t)f'(t)sin(t)cos(t) + f'(t)²cos²(t) + f(t)²cos²(t) + f(t)f'(t)cos(t)sin(t) + f'(t)²sin²(t)

Die gemischten Terme treten mit unterschiedlichen Vorzeichen auf, heben sich also gerade weg. Klammert man dann f(t)² + f'(t)² aus, erhält man:

|c'(t)|² = (f(t)²+f'(t)²)*(sin²(t)+cos²(t))

Nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt für alle t:

sin²(t)+cos²(t) = 1

Also:

|c'(t)|² = f(t)²+f'(t)²

|c'(t)| = √(f(t)²+f'(t)²)

Gemeinsam mit der Definition der Bogenlänge folgt dann:

$$ L = \int _ { a } ^ { b } \sqrt { f ( t ) ^ { 2 } + f ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } } d t $$

was zu beweisen war.

Für f(t) = e^2t gilt:

f'(t) = 2e^2t

Eingesetzt in die Formel für L:

$$ L = \int _ { a } ^ { b } \sqrt { e ^ { 4 t } + 4 e ^ { 4 t } } d t = \int _ { a } ^ { b } e ^ { 2 t } \sqrt { 1 + 4 } d t \\ = \sqrt { 5 } \int _ { a } ^ { b } e ^ { 2 t } d t = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \left( e ^ { 2 b } - e ^ { 2 a } \right) $$

Aufgabe 4:

Setze die Koordinaten der Kurve in die Kegelgleichung ein:

αt²cos²(t) + βt²sin²(t)-4γt² = 0

Hier kann man wieder ausnutzen, dass cos²(t) und sin²(t) nicht linear unabhängig sind, sodass

cos²(t) = 1-sin²(t):

αt²(1-sin²(t)) + βt²sin²(t)-4γt² = 0

(α-4γ)t² + (β - α) t² sin²(t) = 0

Damit der ganze Ausdruck für alle t 0 ergibt, muss bereits jeder einzelne Summand verschwinden, das heißt:

α=4γ

β = α

Dieses System ist unterbestimmt, das heißt, es gibt unendlich viele Lösungen. (Das liegt aber daran, dass es sich immer um den gleichen Kegel handelt.)

Wählt man z.B. α = β = 4, γ = 1/4, dann ist die Bedingung erfüllt.

Für die Projektion auf die x-y-Ebene betrachtet man einfach nur die beiden Komponenten:

c(t)_xy = (t cos(t), t sin(t))^T

Ein Bild findest du hier (Wolframalpha).

Nach der Definition des skalaren Kurvenintegrals:

$$ \int _ { c } f ( x , y , z ) d s = \int _ { 0 } ^ { b } f ( c ( t ) ) \left| c ^ { \prime } ( t ) \right| d t $$

f(c(t)) = √(5+t²)

c'(t) = (cos(t) - tsin(t), sin(t) + t cos(t), 2)
|c'(t)|² = cos²(t) - tcos(t)sin(t) + t²sin(t) + sin²(t)+tsin(t)cos(t)+t²cos²(t)+4 = 5 + t²

⇒ |c'(t)| = √(5+t²)

Damit erhält man:

$$ \int _ { c } f ( x , y , z ) d s = \int _ { 0 } ^ { b } \left( 5 + t ^ { 2 } \right) d t = \left[ 5 t + \frac { t ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { b } = 5 b + \frac { b ^ { 3 } } { 3 } $$