Wie lange braucht Bettina?

Question

Aufgabe:

Bettina macht eine 2-stündige Fahrradtour. Ihre Geschwindigkeit kann dabei näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden.

v(t)=-0.08*t²+16 mit 0 ≤ t ≤ 2

t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beginn der Fahrradtour

v(t) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in km/h.

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie die Zeitdauer, die Bettina für die ersten 10 km dieser Fahrradtour benötigt.

Lt. Lösung liegt dieser Wert bei 0,63h und wurde mit Geogebra mithilfe eines Integrals berechnet, aber es muss doch auch noch eine andere Möglichkeit geben, auf die ich nicht drauf komme.

Answer 1

Die Geschwindigkeit ist das Integral über der Geschwindigkeit, also $$ s(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau $$ und dafür muss gelten

$$ s(t) = 10 $$ Das auflösen nach \( t \) gibt die Lösung.

Answer 2

es muss doch auch noch eine andere Möglichkeit geben

Ja. Man kann das Integral auch ohne Geogebra berechnen, bspw. von Hand.

Comments

Danke, dass weiß ich auch. Ich weiß nur nicht wie!

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\(\displaystyle \int\left(-\frac{8}{100} t^{2}+16\right) d t = -\frac{2 }{75}t^{3}  + 16 t = 10\)

\(\Longleftrightarrow \quad \displaystyle -\frac{2 }{75}t^{3}  + 16 t - 10= 0\)

Eine von drei Nullstellen findet man bei t ≈ 0,6254

Die anderen beiden sind außerhalb des Definitionsbereichs.

Answer 3

und wurde mit Geogebra mithilfe eines Integrals berechnet, aber es muss doch auch noch eine andere Möglichkeit geben,

Ja. Statt der Verwendung von Geogebra kann man die Berechnungen selbst vornehmen.

Sei V(t) eine Stammfunktion von v(t).

Stelle die Gleichung V(t)-V(0)=10 auf und löse sie nach t auf. Wegen der Gleichung 3. Grades wirst du allerdings auch dafür ein Hilfsmittel benötigen.

Answer 4

v(t) integrieren:

V(t) = -0,08t^3/3 +16t = -8/300*t^3 +16t

Grenzen einsetzen: 0 bis x

-8/300*x^3+16*x - 0 = 10

x= 0,63h

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Danke für die Hilfe