Ableitung Rechenweg gesucht

Question

Aufgabe:

Leite

mx (t) = (p/(1-(1-p)t))ⁿ

zwei Mal ab.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Lösung von einem Kumpel bekommen, dabei ist aber kein Lösungsweg. Daran hänge ich momentan.

Die erste Ableitung lauten: (n(1-p)pⁿ) / (1-(1-p)t)ⁿ⁺¹

Die zweite Ableitung lauten: (n(n+1)(1-p)²pⁿ)/(1-(1-p)t)ⁿ⁺²

Ich weiß, ist wahrscheinlich relativ einfach, wäre trotzdem cool, falls mir jemand den Rechenweg erklären könnte.

Danke im Voraus

Comments

Ich würde erst die Klammern auflösen.

[(p/(1-t+pt)]^n

Dann die Potenz- und Quotientenregel anwenden.

Answer 1

\( m x(t)=\left(\frac{p}{1-(1-p) t}\right)^{n}=\left(\frac{p}{1-t-p \cdot t}\right)^{n} \)
1.Ableitung:
\( \begin{array}{l} n \cdot\left(\frac{p}{1-t-p \cdot t}\right)^{n-1} \cdot \frac{0 \cdot(1-t-p \cdot t)-p \cdot(-1-p)}{(1-t-p \cdot t)^{2}}= \\ =n \cdot\left(\frac{p}{1-t-p \cdot t}\right)^{n-1} \cdot \frac{p+p^{2}}{(1-t-p \cdot t)^{2}} \end{array} \)
2.Ableitung:
\( \begin{array}{l} (n-1) \cdot n \cdot(1-t-p \cdot t)^{n-2} \cdot \frac{0 \cdot(1-t-p \cdot t)^{2}-\left(p+p^{2}\right) \cdot 2 \cdot(1-t-p \cdot t) \cdot(-1-p)}{(1-t-p \cdot t)^{4}}= \\ =(n-1) \cdot n \cdot(1-t-p \cdot t)^{n-2} \cdot \frac{\left(-2 p-2 p^{2}\right) \cdot(-1-p)}{(1-t-p \cdot t)^{3}} \end{array} \)

Comments

So, jetzt sollte es richtig sein!

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Hallo,

bereits die erste Zeile ist falsch.

1-(1-p)t = 1-t + pt

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Danke dir. Man kann nicht genug aufpassen!

Answer 2

Hallo,

sei \(q=1-p\).

\(f(t)=\left(\dfrac{p}{1-qt}\right)^n\\ f(t)=p^n\cdot (1-qt)^{-n}\)

\(f'(t)\\ =\blue{\underbrace{p^n}_{\substack{\text{konstanter}\\\text{ Faktor}}}}\cdot\red{\underbrace{(-q)}_{\text{innere Abl.}}}\cdot\green{\underbrace{(-n)\cdot(1-qt)^{-n-1}}_{\text{äußere Ableitung}}}\\=np^n q\cdot\dfrac{ 1}{(1-qt)^{n+1}} \\=\dfrac{np^nq}{(1-qt)^{n+1}}\)

\(f''(t)\\=\blue{np^n q}\cdot\red{(-q)}\cdot\green{(-n-1)(1-qt)^{-n-2}}\\= n(n+1)p^n q^2\cdot(1-qt)^{-n-2} \\= \dfrac{n(n+1)p^n q^2}{(1-qt)^{n+2}  }    \)

:-)