Bestimmen Sie die Fréchet-Ableitung

Question

Es sei V ein Euklidscher Vektorraum (mit Norm ∥x∥ = \( \sqrt{⟨x, x⟩} \) und
f : V → R : x → ⟨x, x⟩
Bestimmen Sie die Fréchet-Ableitung
f ′(x) ∈ L(V, R)

Wüsste leider nicht wirklich einen Ansatz, außer evtl. zuerst die partiellen Ableitungen zu bestimmen

Comments

außer evtl. zuerst die partiellen Ableitungen zu bestimmen

Das ist derr (einfachste) Weg

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Es sei f:V--->R mit f(x)= \( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2} \)  meine Funktion.

Die partielle Ableitung ∂f/∂x_i = 2 *x_i. Und wie bestimme ich jetzt mit Hilfe der partiellen Ableitung die Fréchetableitung?

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Habt Ihr nicht über "Jacobimatrix" gesprochen? Jedenfalls wäre die FAbleitung gerade die 1-n-Matrix aus diesen partiellen Ableitungen.

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Die Jacobi Matrix noch nicht. Aber ich denke, dass das die Matrix ist, die alle partiellen Ableitungen enthält. Aber wie soll man hier sonst genau ableiten? Ist meine Funktion etwa falsch?

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Ich habe Dir ja die Lösung im Fall eines beliebigen Vektorraums in die Antwort geschrieben. Falls konkret \(V=\R^n\) ist, ist

$$f'(x)(h)=2 \langle x,h \rangle=2 \sum_{i=1}^nx_ih_i=\begin{pmatrix} x_1& x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix}$$

Answer 1

Allgemein für einen Vektorraum mit Slalarprodukt wäre

$$f'(x)(h)=2\langle x,h\rangle$$