Steckbriefaufgabe Bedingungen aufstellen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat bei \( x=-3 \)
eine einfache und bei \( x=1 \) eine doppelte Nullstelle.
Geben Sie die Funktionsgleichung an.
Lösung:
Ansatz: \( y=b_{4} \cdot x^{4}+b_{3} \cdot x^{3}+b_{2} \cdot x^{2}+b_{1} \cdot x+b_{0} \)
\( y^{\prime}=4 \cdot b_{4} \cdot x^{3}+3 \cdot b_{3} \cdot x^{2}+2 \cdot b_{2} \cdot x+b_{1} \)
1 Bed:: \( y(x=3)=2=81 \cdot b 4+27 \cdot b 3+9 \cdot b 2+3 \cdot b 1+b 0 \)
2. Bed \( y(x=-3)=0=\frac{81}{-81} b 4-27 \cdot b 3+\frac{9}{-9} \cdot b 2-3 \cdot b 1+b 0 \)
3. Bed.: \( y(x=1)=0=b 4+b 3+b 2+b 1+b 0 \)
4. Bed \( y(x=-1)=2=\frac{b 4}{-64}-b 3+\frac{b 2}{-62}-b 1+b 0 \).
5. Bed: \( y^{\prime}(x=1)=0=4 \cdot b^{4}+3 \cdot b 3+2 \cdot b 2+b 1 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bitte erklären bei Bedingung 2 und 4: warum mein Prof in seiner Lösung dort Posetive Vorzeichen hat obwohl sie meiner meinung nach Negative sein solten oder habe ich was falsch verstanden wenn einer von euch mich aufklären könnte wäre ich ihm sehr dankbar.

Comments

Das sieht alles ziemlich wirr aus. Poste doch mal die Original-Aufgabe.

Answer 1

1.Bedingung:\( y(x=3)=2=81 \cdot b 4+27 \cdot b 3+9 \cdot b 2+3 \cdot b 1+b 0 \) heißt,

dass es einen Punkt \(P(3|2)\)  gibt.
2. Bedingung: \( y(x=-3)=0=\frac{81}{-81} b 4-27 \cdot b 3+\frac{9}{-9} \cdot b 2-3 \cdot b 1+b 0 \)

Dort ist die einfache Nullstelle.
3. Bedingung:\( y(x=1)=0=b 4+b 3+b 2+b 1+b 0 \)

Dort ist die doppelte Nullstelle.

4. Bedingung:\( y(x=-1)=2=\frac{b 4}{-64}-b 3+\frac{b 2}{-62}-b 1+b 0 \)  heißt,
dass es einen Punkt \(Q(-1|2)\)  gibt.

5. Bedingung:\( y^{\prime}(x=1)=0=4 \cdot b^{4}+3 \cdot b 3+2 \cdot b 2+b 1 \) bezieht sich auf die 3.Bedingung mit der doppelten Nullstelle.

Also ist alles richtig vom Professor her. Die nachfolgenden Aufstellungen habe ich nicht nachgerechnet.

Comments

Ich selbst würde folgenden Weg vorschlagen:

Einfache Nullstelle bei \(x=-3\) und doppelte Nullstelle bei \(x=1\)

\(f(x)=a*(x+3)*(x-1)^2*(x-N)\)

\(P(3|2)\)

\(f(3)=a*(3+3)*(3-1)^2*(3-N)\)

1.)\(a*(3+3)*(3-1)^2*(3-N)=2\)

\(Q(-1|2)\)

\(f(x)=a*(-1+3)*(-1-1)^2*(-1-N)\)

2.)\(a*(-1+3)*(-1-1)^2*(-1-N)=2\)

Nun kannst du a und N bestimmen.

---

1.)  \(a*(3+3)*(3-1)^2*(3-N)=2\)

\(a*(6)*(2)^2*(3-N)=2\)  → \(24a*(3-N)=2\) →

→  \(12a*(3-N)=1\)

2.)  \(a*(-1+3)*(-1-1)^2*(-1-N)=2\)

 \(a*(2)*(-2)^2*(-1-N)=2\)   →   \(4a(-1-N)=1\)

\(a=- \frac{1}{24} \)

\(N=5 \)

\(f(x)=- \frac{1}{24}*(x+3)*(x-1)^2*(x-5)\)

---

Hallo Moliets,

NIRGENDWO im Text des Fragestellers steht, dass f(2)=3 gilt!

Das kann man nur aus der angegebenen Musterlösung des Profs vermuten.

Das hat Monty zutreffenderweisen zum Kommentar

Das sieht alles ziemlich wirr aus. Poste doch mal die Original-Aufgabe.

bewogen. Aber dir ist das ja mal wieder sowas von egal...

Answer 2

Ich denke das problem ist nicht eindeutig lösbar und ich wäre anders vorgegangen.

Aus den Vorgaben folgt doch das gilt

$$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = A(x+3)(x-1)^2(x-B) $$

Durch Koeffizientenvergleich bekommt

\( a = A \),

\( b = A - AB \),

\( c = -5A-AB \) ,

\( d = 3A+5AB \) und

\( e = -3AB \)

wobei \( B \ne 1 \) sein muss. Ansonsten sind \( A \) und \( B \) frei wählbar.

Answer 3

Ich vermute, dass du folgendes meinst:

(-3)^4=+81 ist richtig, während du falsch mit -3^4=-81 rechnest.

Die Vorzeichen müssen bei negativen x-Werten deshalb abwechselnd + und - sein.

--------

Wenn Nullstellen vorgegeben sind, kann man mit Linearfaktoren einfacher rechnen.

f(x)=a(x+3)(x-1)²(x-b)

Offensichtlich gilt noch f(3)=2 und f(-1)=2

2=a•6•2²•(3-b) → 2=24a•(3-b)

2=a•2•(-2)²(-1-b) → 2=8a•(-1-b) (*)

Nun dividiere ich beide Gleichungen.

1=3(3-b)/(-1-b)

(-1-b)=9-3b--> b=5

Einsetzen in (*)

2=8a•(-6) -->  a=-1/24

f(x)= -1/24 •(x+3)(x+-1)²(x-5)

\( f(x)=-\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{5 x^{2}}{12}-\frac{7 x}{6}+\frac{5}{8} \)