Aufgabe:
Es sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Basis \( b=\left(v_{1}, \ldots, v_{4}\right), W \) sei ein \( \mathbb{R} \) Vektorraum mit Basis \( c=\left(w_{1}, \ldots, w_{5}\right) \). Sei \( f: V \rightarrow W \) die lineare Abbildung mit
\( M(f, b, c)=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 12 & 4 \\ 0 & 4 & -17 & 5 \end{array}\right) . \)
Schließlich seien \( b^{\prime}=\left(v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{4}^{\prime}\right) \) mit \( v_{1}^{\prime}=v_{1}+v_{2}, v_{2}^{\prime}=v_{2}+v_{3}, v_{3}^{\prime}=v_{3}+v_{4}, v_{4}^{\prime}=v_{4} \) und \( c^{\prime}=\left(w_{1}^{\prime}, \ldots, w_{5}^{\prime}\right) \) mit \( w_{1}^{\prime}=w_{1}, w_{2}^{\prime}=w_{1}+w_{2}, w_{3}^{\prime}=-w_{1}+w_{3}, w_{4}^{\prime}=w_{1}+w_{4}, w_{5}^{\prime}=w_{1}+w_{5} \).
(i) Zeigen Sie, dass \( b^{\prime} \) eine Basis von \( V \) und \( c^{\prime} \) eine Basis von \( w \) ist.
(ii) Berechnen Sie \( M\left(f, b, c^{\prime}\right), M\left(f, b^{\prime}, c\right) \) und \( M\left(f, b^{\prime}, c^{\prime}\right) \).
