Symmetrie rechnerisch ermitteln

Question

folgende Aufgabenstellung:

Welche der nachstehenden Funktionen sind gerade.

1.) y=x*sin(x)

2.) y=e^{cos(x)}

3.) arccos(x)

Ich habe alle Funktionen in einen Funktonsplotter eingegeben und erkannt das alle "gerade" wären, also symmetrisch zur Y-Achse. Doch wie ermittle ich bei diesen Funktionen die Symmetrie rechnerisch?

Answer 1

Die Symmetrien sind folgendermaßen definiert:

I.) Eine Funktion heißt gerade, wenn gilt:

f(x) = f(-x)

II.) Eine Funktion heißt ungerade, wenn gilt:

f(-x) = -f(x)

 

1.) f(x) = x*sin(x)

f(-x) = (-x)*sin(-x) = (-x)*(-sin(x) = x*sin(x) = f(x)
⇒ die Funktion ist gerade.

2.) f(x) = e^cos(x)

f(-x) = e^cos(-x) = e^cos(x) = f(x)
⇒ die Funktion ist gerade.

3.) arccos(x)

Hier kann man ausnutzen, dass eine stetige Funktion genau dann gerade ist, wenn ihre Ableitung ungerade ist.

Die Ableitung von arccos(x) ist:

-1/sqrt(1-x²)

Das ist aber eine gerade Funktion! Also kann arccos(x) höchstens ungerade sein, dafür muss aber zusätzlich f(0)=0 gelten.

arccos(0) = pi/2

Also ist die Funktion nicht symmetrisch.