Die knickfreie Umgehungsstraße

Question

Aufgabe:

Es gibt die alte Bundesstraße durch den Ort mit b(x)= - 1⁄2 x-1/6 Die neue Umgehungsstraße soll am Punkt A= (-2│7/6) knickfrei an der alten Bundesstraße anschließen und durch den Punkt B= (0│7/6)  Verlaufen. Die Umgehungsstraße soll durch die ganzrationale Funktion g(x)=ax^3+bx^2+1/6 x+c abgebildet werden.Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und berechnen Sie den Funktionsterm von g(x).

Problem/Ansatz:

Klar ist

f(-2)=1/2

f(0)=7/6

f'(-2)=0

In der Funktion g(X) ist aber der Faktor für x keine Variable sondern konstant 1/6. Das klappt bei Gauss oder Casio nicht richtig. Ich habe keinen Ansatz gefunden.

Comments

Das Casio sollte zumindest zum Ausdruck bringen, das A∉g ist

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Ist die y-Koordinate von A \( \frac{5}{6} \) statt \( \frac{7}{6} \) ?

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So sorry: ja A ist (-2/  5/6)

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Dann kannst du folgende Funktionsgleichungen aufstellen:

\(b(x)=-0,5x-\frac{1}{6}\\ b'(x)=-0,5\\[10pt] g(x)=ax^3+bx^2+\frac{1}{6}x+\frac{7}{6}\\ g'(x)=3ax^2+2bx+\frac{1}{6}\\[10pt] b(-2)=g(-2)=\frac{5}{6}\Rightarrow -8a+4b-\frac{2}{6}+\frac{7}{6}=\frac{5}{6}\Rightarrow \blue{-8a+4b=0}\\\\ b'(-2)=g'(-2)=-0,5\Rightarrow 12a-4b+\frac{1}{6}=-0,5\Rightarrow \blue{12a-4b=-\frac{2}{3}}\)

Für die Berechnung von a und b brauchst du keinen Taschenrechner.

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Sorry Silvia,

Hab ich verpennt!!!

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Was hast du verpennt? Wie man ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten löst?

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Nein

die falsche Angabe in der Aufgabe.

Ist mir peinlich, sorry an alle!

Answer 1

Knickfrei bedeutet, dass für b(x) und g(x) an der Stelle x= -2 gilt:

b(x)= g(x) und b'(x) = g'(x)

Answer 2

Kann es sein das die Bundeststraße die Funktionsgleichung b(x) = - 1/2·x + 1/6 hat. Ansonsten geht sie nicht durch den Punkt A.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + 1/6·x + c
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + 1/6

f(-2) = 7/6 --> - 8·a + 4·b - 2/6 + c = 7/6
f'(-2) = -1/2 --> 12·a - 4·b + 1/6 = - 1/2
f(0) = 7/6 --> c = 7/6

Wenn ich das Gleichungssystem löse erhalte ich: a = - 1/12 ∧ b = - 1/12 ∧ c = 7/6

f(x) = - 1/12·x^3 - 1/12·x^2 + 1/6·x + 7/6

Comments

Nein tut sie nicht.

Leider erhalte ich mit deiner Lösung nicht den richtigen Graphen!

Hier in Desmos:

Die richtige Lösung ist:

Text erkannt:

\( G_{1}=-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{6} \)

(In der Aufgabe als Kontrolle vorgegeben)

Aber wie komme ich dahin???

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Gar nicht, wenn der Punkt A in der Aufgabe mit A(-2 | 7/6) angegeben ist. Dann müsste es A(-2 | 5/7). Dann kann man auf die richtige Lösung kommen.