Auf welche Ziffer endet …

Question

Aufgabe

Auf welche Ziffer endet 5³² im Siebenersystem

Problem/Ansatz

Leider komme ich im 7ersystem überhaupt nicht weiter :/

Ich bitte um Hilfe :)

Answer 1

5³=126-1=7*18-1 → 5³ mod 7 = -1

5^{30} mod 7 =1

5^{32} mod 7 = 5² mod 7 = 4

:-)

PS

Überprüfen mit Wolframalpha liefert auch 4.

PPS:

Die Ziffern wiederholen sich:

5,4,6,2,3,1,...

https://www.wolframalpha.com/input?i=5%5En+mod+7+for+n%3D1+to+32

Comments

Genau das kommt bei mir auch raus … aber wenn ich das in den Taschenrechner eintippe ist die letze Ziffer eine 5 … also liegt das daran, dass der Taschenrechner im Dezimalsystem „rechnet“ ?

---

Der Taschenrechner kann nicht im 7er-System rechnen. Es sei denn, er hat eine modulo-Taste.

Answer 2

Die Frage bedeutet dasselbe wie
"welchen Rest liefert \(5^{32}\) mod \(7\)".

Comments

Die letze Ziffer ist eine 5 aber bei mir kommt nicht die 5 raus wenn ich es ausrechen …

---

Bei mir kommt 5 raus. Was ergab denn deine Rechnung ?

---

Bei mir kommt 5 raus.

Bei mir 4.

https://www.wolframalpha.com/input?i=5%5E32+mod+7

---

Oh sorry, habe mich verrechnet :(

\(5^{32}=5^{6\cdot 5 + 2}=(5^6)^5\cdot 5^2\equiv 1^5\cdot 4\equiv 4\) mod \(7\).

---

Ich hab am Ende 1⁵ • 5² 

---

Ja. Nun ist \(5^2\equiv (-2)^2=4\) mod \(7\).

---

Wo könnte es im Leben eine Rolle spielen zu wissen, auf welche Ziffer endet 5^32 im Siebenersystem endet?

Wo spielt dieses System eine Rolle?

---

Wo könnte es im Leben eine Rolle spielen zu wissen, auf welche Ziffer endet 5^32 im Siebenersystem endet? Wo spielt dieses System eine Rolle?

Du hast 5^32 Geldeinheiten (GE) und möchtest diese unter 7 Personen aufteilen. Geht das oder bleibt ein Rest. Wenn ja wie groß ist der Rest?

Grundsätzlich liefert die Mathematik immer nur Werkzeuge und kümmert sich erstmal nicht um die Anwendung. Aber falls mal jemand eine Anwendung dafür hat, kann der Mathematiker aushelfen, diese Anwendung damit zu lösen.

---

Ich hab am Ende 1^5 • 5^2 

Ich auch.
5²=25=21+4=3*7 + 4
:-)

---

Wo könnte es im Leben eine Rolle spielen zu wissen,...

Die Relativitätstheorie und die Quantenmechanik konnten nur entwickelt werden, weil Mathematiker die notwendigen Rechentechniken vorher entwickelt haben, ohne zu wissen, dass sie irgendwann mal gebraucht werden.
Und ohne Relativitätstheorie und Quantenmechanik gäbe es kein GPS und keinen Laser, um nur zwei Anwendungen zu nennen.

Answer 3

5^32 mod 7

= 5^(4*8) mod 7

= (5^4)^8 mod 7

= 625^8 mod 7

= (625 mod 7)^8 mod 7

= 2^8 mod 7

= 2^(3+3+2) mod 7

= 2^3 * 2^3 * 2^2 mod 7 (2^3 = 8 mod 7 und das ist gleich 1)

= 2^2 = 4

Also 5^32 mod 7 = 4.