Sind die Lösungen der komplexen Gleichung korrekt?

Question

Aufgabe:

\( z^{4}=-1 \)

\( z^{4}=-1+0 i \quad r=\sqrt{1}=1 \)

\( p=\arccos (-1)=\pi \)

\( z=e^{\pi i} \)

\(\displaystyle z=\sqrt[4]{z}=e^{\frac{\pi+2 k \pi}{4} \cdot i} \)

\( z_{1}=e^{\frac{\pi}{4} i} \quad(k=0) \)

\( z_{2}=e^{\frac{3}{4} \pi i} \quad(k=1) \)

\( z_{3}=e^{\frac{5}{4} \pi i} \quad(k=2) \)

\( z_{4}=e^{\frac{7}{4} \pi i} \quad(k=3) \)

Comments

Diese Frage wurde hier kürzlich bereits gestellt.

Answer 1

Die Lösungen sind zunächst mal richtig, der Weg aber nicht ganz korrekt.

Statt \(z=e^{πi}\) muss es \(z^4=e^{πi}\) heißen.

Da nun z^4 als -1 und nicht in Polarform vorgegeben wurde, würde ich es für besser halten, auch die Ergebnisse nicht in Polarform, sondern jeweils in der zutreffenden Variante von \(\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i\) darzustellen.

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Ich weiß leider nicht, wie es mit der kartesischen Form geht

Answer 2

\( z^{4}=-1=i^2 \)

\( z=+-\sqrt[4]{i^2}=+-i^{\frac{2}{4}}= +-i^{\frac{1}{2}}=+-\sqrt{i}\)

Einschub:

\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2i}=\frac{1}{2}*\sqrt{2}*\sqrt{1+2i-1}=\frac{1}{2}*\sqrt{2}*\sqrt{1+2i+i^2}\)=

=\(\frac{1}{2}*\sqrt{2}*\sqrt{(i+1)^2}\)=\(\frac{1}{2}*\sqrt{2}*(i+1)=\frac{1}{2}*\sqrt{2}+\frac{1}{2}*i*\sqrt{2}\)

Comments

Und damit glaubst du jetzt die VIER verschiedenen Lösungen erklärt zu haben