Bestimme f(42) anhand von Bedingungen

Question

Aufgabe:

Die Funktion f: ℝ → ℝ sei stetig und erfülle

f(x)f(f(x))=1   für alle x aus ℝ

Und außerdem f(2047)=1729

Bestimme f(42)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die beiden Bedingungen verstanden habe, sollte doch

f(2047) · f(f(2047))= 1729 · f(1729)=1 sein. Demnach müsste doch f(1729)= \( \frac{1}{1729} \) sein, jedoch hab ich leider keinen Plan wie mir das jetzt weiter hilft.

Answer 1

Hallo,

ich habe keine Lösung, notiere aber meine Überlegungen.

Wenn f(x)=a ist, gilt mit

f(x)f(f(x))=1

a*f(a)=1

f(a)=1/a

Dann müsste f(42)=1/42 sein.

Probe:

f(42)*f(f(42))

= 1/42 * 1/(1/42)

= 1/42 * 42

= 1

Problematisch ist dabei:

1/x ist nicht stetig auf ℝ und f(2047)=1729 passt auch nicht.

Auffällig ist, dass die Zahlen 2047 und 1729 um 1 von ganzzahligen Potenzen abweichen.

2047=2^{11}-1

1729=12^3+1

Vielleicht hilft das ja weiter.

f(2^{11}-1)=12^3 +1