Zeigen Sie, dass B eine Basis des ℝ^{3} ist.

Question

Betrachten Sie die folgende Menge:

\( \mathcal{B}:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right\} . \)

Gegeben sei außerdem die Abbildung

\( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad \varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+3 x_{2}-x_{3} \\ 5 x_{1}-2 x_{2} \end{array}\right) . \)

(a) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

Answer 1

Aloha :)

Damit \(B\) eine Basis des \(\mathbb R^3\) bildet, müssen die drei Vektoren ein 3-dimensionales Volumen aufspannen, d.h. sie müssen linear unabhängig sein. Das von den drei Vektoren aufgespannte Volumen kannst du mit dem Spatprodukt oder mit der Determinante bestimmen:$$V=\vec b_1\cdot(\vec b_2\times\vec b_3)\quad;\quad V=\operatorname{det(\vec b_1;\vec b_2;\vec b_3)}$$Falls das Volumen negativ ist, bilden die drei Vektoren ein Linkssystem, was aber für das Volumen unerheblich ist. Mit der Determinante erhalte ich:$$V=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\3 & 0 & 4\\5 & -1 & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1\red{-1} & 0\\3 & 0\red{-3} & 4\\5 & -1\red{-5} & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\3 & -3 & 4\\5 & -6 & -2\end{array}\right|$$$$\phantom V=\left|\begin{array}{rr}-3 & 4\\-6 & -2\end{array}\right|=6+24=30\ne0$$Die 3 Vektoren in \(B\) bilden also tatsächlich eine Basis des \(\mathbb R^3\).

Leider hälst du geheim, was mit der gegebenen Abbildung passieren soll. Daher kann ich dir da nicht weiterhelfen.

Comments

Die Determinante ist 30. Statt einer 5 kommt eine 4 hin. :)

Vielen Dank, aber ich habe gehört, dass es nicht reicht, bloß lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Muss man nicht noch eine Linearkombination aufstellen und das LGS lösen?

Die Abbildung gehört wohl zu b) wie abakus gesagt hat

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Die 5 habe ich falsch übertragen, habe es korrigiert.

Von welchem LGS redest du, ich sehe keins?

Was ist mit Teil b) gemeint?

Wir können dir nur helfen, wenn du uns die nötigen Informationen gibst ;)

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Gut, dann ist ja alles geklärt. :)

Für b) muss man die Darstellungsmatrix \( \mathrm{M}_{\mathcal{E}_{2}}^{\mathcal{B}}(\varphi) \) bestimmen, wobei \( \mathcal{E}_{2} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{2} \) ist

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Für Teil b) kannst du die Basisvektoren einfach in die Abbildung einsetzen:$$\varphi(1;3;5)=\binom{5}{-1}\;;\;\varphi(1;0;-1)=\binom{2}{5}\;;\;\varphi(0;4;-2)=\binom{14}{-8}$$und erhältst dann die gesuchte Darstellungsmatrix:$$M^B_{E_2}(\varphi)=\left(\begin{array}{r}5 & 2 & 14\\-1 & 5 & -8\end{array}\right)$$

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Das war ja doch einfacher als gedacht. Vielen Dank :)

Answer 2

Zeige die lineare Unabhängigkeit der 3 Vektoren.

Comments

Die habe ich schon mit dem Gaußalgorthmus bestimmt. Ich weiß halt nur nicht, wie ich mit der Abbildung arbeiten soll.

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Die Abbildung ist nicht Bestandteil der Aufgabe a)

Wie lautet b)?