Zeige, dass die Funktionenschar nur eine Nullstelle besitzt

Question

Aufgabe:

Funktionenschar $f_{t}(x)=4 x^{2}-4 \cdot t \cdot x+t^{2}, x \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$
1) Zeige, dass der Graph von $f(t)$ genau eine Nullstelle besitzt
2) Bestimme $t$ so, dass gilt $\int \limits_{0}^{t} f_{t}(t) d x=9$

Nullstelle einer Funktionenschar zeigen

Und danach t bestimmen, sodass das Integral von 0-t=9 ergibt

Siehe Bild

Problem/Ansatz:

Ich muss ft(x)= 0 setzen oder nicht?

Komme aber absolut nicht weiter.

Comments

Das ist die Funktion bei Veränderung des Parameters t:

Answer 1

$4 x^{2}-4 \cdot t \cdot x+t^{2} = 0$ <=>  $(2x-t)^{2} = 0$ <=> 2x=t <=> x = t/2

Also genau eine Nullstelle.

$\int\limits_0^t( 4 x^{2}-4 \cdot t \cdot x+t^{2}) dx = 9$

$[\frac{4}{3} x^{3}-2 \cdot t \cdot x^2+xt^{2}]_0^t= 9$

$(\frac{4}{3} t^{3}-2 \cdot t \cdot t^2+t\cdot t^{2}) - 0= 9$

$\frac{4}{3} t^{3}-2t^3+t^{3}= 9$

$\frac{1}{3} t^{3}= 9$    <=>  t^3 = 27   <=>   t=3

Comments

Vielen Dank, auch wenn ich die Integralrechnung noch nicht verstehe.

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Das Integral berechnet den Flächeninhalt unter der Funktion $f_{t}(x)$ zwischen den Grenzen 0 und t.

Um dies zu berechnen, wird die Integralfunktion $F(x)=\int f_{t}(x) d x$ bestimmt und die Werte von $F(0)$ und $F(t)$ berechnet. Der Unterschied zwischen diesen beiden Werten entspricht der gesuchten Fläche.

In diesem Fall wird die Integralfunktion von der Funktion $f_{t}(x)$ berechnet und die Integralrechnung wird ausgeführt, um das Integral von 0 bis $t$ zu berechnen. Der Ausdruck $\left[\frac{4}{3} x^{3}-2 \cdot t \cdot x^{2}+x t^{2}\right]_{0}^{t}$ bezieht sich darauf, dass der Wert des Integrals bei $x=0$ und $x=t$ berechnet wird.

So ergibt sich die Gleichung $\left(\frac{4}{3} t^{3}-2 \cdot t \cdot t^{2}+\right.$ $\left.t \cdot t^{2}\right)-0=9$ mit der Lösung $\mathrm{t}=3$

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Ahja ich muss ja erst aufleiten. Hatte mich nämlich grad gefragt wieso hoch 3

Answer 2

Hallo,

ja, das ist richtig. Wende die pq-Formel an:

$4x^2-4tx+t^2=0\\ x^2-tx+\frac{1}{4}t^2=0\\ x_{1,2}=0,5t\pm \sqrt{0,25t^2-0,25t^2}\\ x=0,5t$

Gruß, Silvia

Comments

Danke, auf die Formel hätte ich auch selbst kommen können

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Es gab Zeiten (vor Einführung digitaler Werkzeuge), da erkannten Schüler*innen binomische Formeln [wie 4x²-4xt+t²=(2x-t)²] 100 m gegen den Wind.