Wieso fallen die 1/x weg?

Question

\( \int \frac{1}{x \ln ^{2}(x)} \mathrm{d} x \)
Substituiere \( u=\ln (x) \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{x} \) (Rechenweg) \( \longrightarrow \mathrm{d} x=x \mathrm{~d} u \) :
\( =\int \frac{1}{u^{2}} \mathrm{~d} u \)
Potenzregel anwenden:
\( \begin{aligned} \int u^{\mathrm{n}} \mathrm{d} u= & \frac{u^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1} \text { mit } \mathrm{n}=-2 \\ & =-\frac{1}{u} \end{aligned} \)
Rücksubstitution von \( u=\ln (x) \) :
\( =-\frac{1}{\ln (x)} \)

Hallo,
ich verstehe bei der Rechnung nicht ganz warum die 1/x wegfallen und nur u = ln(x) gesetzt wird, müsste nicht auch die Stammfunktion von 1/x gebildet werden ? Und wie kommt man darauf n = -2 zu setzen(wegen ln(x)^-2 ?)?

Answer 1

$$\int \dfrac{1}{x\ln^2x}\textrm{ d}x=\dots$$ Nach der vorgeschlagenen Substitution muss \(x\) völlig verschwunden sein. Ersetzen wir zunächst \(\ln(x)\) und \(\textrm{d}x\), dann bekommen wir $$\int \dfrac{1}{xu^2}x\textrm{ d}u=\dots$$Jetzt können wir \(x\) wegkürzen und erhalten $$\int \dfrac{1}{u^2}\textrm{ d}u=\dots$$Dieses reziproke Quadrat lässt sich (Potenzrechnung) schreiben als $$\int u^{-2}\textrm{ d}u=\dots$$ Nach der Potenzregel der Integralrechnung rechnen wir $$\dfrac{1}{-2+1}u^{-2+1}+C=\dots,$$ was $$-u^{-1}+C=\dots$$ ergibt. Das entspricht (Potenzrechnung) $$-\dfrac{1}{u}+C=\dots$$ Nach der Rücksubstitution bekommen wir das Ergebnis $$-\dfrac{1}{\ln(x)}+C.$$