Das Infimum der Funktion 1/(x+3)

Question

Aufgabe:

,,Das Infimum der Funktion 1/(x+3) ist auf dem Intervall ]-3;∞[ gleich Null".

Problem/Ansatz:

Die Definitions des Infimums ist aber doch, die größte aller unteren Schranken einer Funktion f aus Df in ℝ auf dem Intervall I ⊆ Df, bezeichnet man als Infimum. Wobei gilt, eine Funktion f aus Df in R auf dem Intervall I ⊆ Df ist nach unten beschränkt wenn es eine Zahl S ∈ℝ gibt, sodass für alle x ∈ I gilt f(x)≥S.

Demnach müsste das Infimum ja der Wert sein der gleich dem niedrigsten Funktionswert gleicht. Den gibt es hier so an und an sich nicht, da man ja sich unendlich nah an die -3 annähern kann ohne sie zu ,,berühren". Das wäre aber trotzdem ein Widerspruch zu dem = Zeichen was ja für genau gleich steht.

Nun wird der Funktionswert aber an keiner stelle Null. Also kann die Aussage per se ja nicht ganz richtig sein. Sie wird denke ich näherungsweise Null. Oder habe ich was falsch verstanden, oder wird es oft in der Mathematik so sein, das das = für einen Näherungswert steht?

Comments

Wobei ich anmerken muss, das im Text steht das inf 1/(x+3) ist gleich Null. Und nicht das inf 1/(x+3) = 0. Vielleicht hat der Autor auch wegen der Näherung an -3 auf das = Zeichen verzichtet.

Answer 1

Das Infimum ist die größte untere Schranke der Menge. D.h alle Werte der betreffenden Menge sind größer oder gleich des Infimum. Ist der Wert des gefundenen Infimum zusätzlich ein Element der Menge, so ist es gleichzeitig das Minimum.

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Dankeschön, die Definition ist ergänzend sehr hilfreich!

Answer 2

Demnach müsste das Infimum ja der Wert sein der gleich dem niedrigsten Funktionswert gleicht.

Du hast arge Schwierigkeiten mit den Begrifflichkeiten.

Der "niedrigste Funktionswert" heißt -falls er existiert- MINIMUM.

Ja, ein Minimum gibt es hier tatsächlich nicht.

Comments

Genau. Na ja, das Minimum steht in dem Zusammenhang nicht in der Definition des Infimums in meiner Lektüre.

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Aber ja das stimmt. So ausführliche Definitionen habe ich aus der Schule nicht mitnehmen können, bzw. auch einfachere Definitionen wie Nullstelle sind nicht in ihrer ganzen Korrektheit erhalten geblieben.

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Was hindert dich daran Begrifflichkeiten nachzuschlagen und mit eigenen Worten in das eigene Merkheft zu übernehmen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

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Na ja, ich lerne ja gerade alle Begrifflichkeiten aufs Neue sozusagen, aus dem Buch Grundlagen der Mathematik Im Bauingenieurwesen 1. Das ist mein Nachschlageheft sozusagen. Und wenn es da für mich Unklarheiten gibt, oder auch Verständlichkeiten, dann frage ich gerne hier im Forum nach, oder im 2. Fall, vergewissere ich mich, dass ich das auch richtig so verstanden habe, bevor das Kartenhaus auf einer falschen Annahme zusammenbricht. Auf Wikipedia finde ich häufig Definitionen die um einiges komplexer dargestellt sind als in meinen bisherigen Heften oder aktueller Lektüre, und da will ich mich nicht in etwas reinlesen, was den Umfang des benötigten Wissens für später um einiges sprengt (Zeit). Und da ich nie weiß welche Definitionen von anderen Seiten wirklich komplett oder gut sind, beziehe ich mich lieber auf die Definitionen in meinem Buch.

Answer 3

An der Stelle x=-3 hat der Graph der Funktion mit diesem Funktionsterm eine Asymptote. Rechts davon sind alle Werte positiv.