Question

Gibt es einen Trick den Grad eines Polynoms sehr schnell auszurechnen?

Es kommen z.B. so Aufgaben dran wie:

f = X⁵ + X³ + X + 1 und g = X⁵ + 1 in F₂

_{Was ist der Grad von f}⁴ _{- gf}³_?

_{Habe dabei schon Probleme muss ich sagen, komme irgendwann durcheinander und vor allem ist das nur eine von ~ 40 Aufgaben bei 120 Minuten Zeitlimit. Also wie kann man das schnell ausrechnen, da muss es doch eine Abkürzung geben?}

Comments

Was meinst du mit ausrechnen? Dann Grad kannst du ablesen, es ist der der höchsten Potenz.

Was ist F2?

Soll faktorisiert werden?

Die höchste Potenz (X^5)^4 = X^20 hat den Grad 20, das ist dann der Grad des Polynoms.

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Aber wir müssen zuerst rechnen: f⁴ - gf³ das ist dann unser neues Polynom von dem wir den Grad bestimmen müssen.

Das x mit Potenz 20 fällt dann z.B. weg

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Es gilt deg(p*q) = deg(p) + deg(q) in Polynomringen über nullterfreien Ringen, insb. also über Körpern. (F2 ist ein Körper)

Answer 1

Überprüfe, ob in den beiden Polynomen die höchsten Potenzen die gleichen Koeffizienten haben. Wenn ja, streiche Sie und verfahre mit dem Rest genauso.

Answer 2

Das Polynom kannst in der Form \(t^3(t-g)\) schreiben.

Der Grad \(d\) ist dann \(3*d(t)+d(t-g)\).

Man hat \(d(t)=5\) und \(d(g-t)=3\) ...