Aloha :)
Auf diese Stammfunktion kommt man beim manuellen Ausrechnen des Integrals nicht.
Die Integrationsgrenzen sind bekannt und werden bei der partiellen Integration "unterwegs" eingesetzt:
$$I=\int\limits_0^a\underbrace{\sin\left(\frac\pi at\right)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-st}}_{=v'}dt=\underbrace{\left[\underbrace{\sin\left(\frac\pi at\right)}_{=u}\cdot \underbrace{\frac{e^{-st}}{-s}}_{=v}\right]_{t=0}^a}_{=0}-\int\limits_0^a\underbrace{\frac\pi a\cos\left(\frac\pi at\right)}_{=u'}\cdot \underbrace{\frac{e^{-st}}{-s}}_{=v}\,dt$$$$\phantom I=\frac{\pi}{as}\int\limits_0^a\underbrace{\cos\left(\frac\pi at\right)}_{=f}\cdot\underbrace{e^{-st}}_{=g'}\,dt=\frac{\pi}{as}\left[\underbrace{\cos\left(\frac\pi at\right)}_{=f}\cdot\underbrace{\frac{e^{-st}}{-s}}_{=g}\right]_{t=0}^a-\frac{\pi}{as}\int\limits_0^a\underbrace{-\frac\pi a\sin\left(\frac\pi at\right)}_{=f'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-st}}{-s}}_{=g}\,dt$$$$\phantom I=\frac{\pi}{as}\left((-1)\cdot\frac{e^{-as}}{-s}-1\cdot\frac{1}{-s}\right)-\frac{\pi^2}{a^2s^2}\underbrace{\int\limits_0^a\sin\left(\frac\pi at\right)\cdot e^{-st}\,dt}_{=I}=\frac{\pi}{as^2}(e^{-as}+1)-\frac{\pi^2}{a^2s^2}\cdot I$$Diese Gleichung kannst du nach \(I\) auflosen:$$I+\frac{\pi^2}{a^2s^2}I=\frac{\pi}{as^2}(e^{-as}+1)\implies\frac{a^2s^2+\pi^2}{a^2s^2}\,I=\frac{\pi}{as^2}(e^{-as}+1)\implies$$$$I=\frac{a^2s^2}{(a^2s^2+\pi^2)}\cdot\frac{\pi}{as^2}(e^{-as}+1)=\frac{\pi a}{a^2s^2+\pi^2}(e^{-as}+1)$$
