Ist Relation xRy: <=> 2x - 3 | 2y - 3 Totalordnung? Falls nicht, wie sieht das Hasse-Diagramm dazu aus?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei die Menge \( M=\{2, . ., 6\} \) und zwei Relationen \( R \) und \( S \) auf \( M \), definiert durch
\( x R y: \Longleftrightarrow 2 x-3|2 y-3, \quad x S y: \Longleftrightarrow 2 x-2| 3 y-3 . \)
Untersuchen Sie, welche dieser Relationen eine Halbordnung oder sogar Totalordnung ist? Falls eine Halbordnung vorliegt, geben Sie auch das zugehörige Hassediagramm an!

Problem/Ansatz:

Ich habe beide Relationen überprüft und bin zu dem Entschluss gekommen, dass xRy eine halbordnung ist, inwiefern es eine Totalordnung sein soll, kann ich mir nicht erklären, da die Elemente einer Totalordnung ja vergleichbar sein müssen und ich nicht weiß, wie man hier überhaupt in diesem Fall mit der Teilbarkeit Vergleichbarkeit darstellen könnte. Ich habe schon ein paar Hassediagramme erstellt, aber  wie das Hassediagramm dazu aussehen soll verwirrt mich ein bisschen, da die Relation doch beispielsweise aus {{2,2}, {3,3}, {4,4},{5,5},{6,6}, {2,3},{3,6},{2,6}...} besteht und ich nicht weiß, wie man das illustrieren könnte.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Comments

R ist in der Tat eine Halbordnung. Jetzt wäre es gut, wenn du die angefangene Darstellung

{(2,2), (3,3), (4,4),(5,5),(6,6), (2,3),(3,6),(2,6), ...}

noch vervollständigen würdest. Es fehlen nur noch 2 ...

Ein Hasse-Diagramm würde so aussehen:

Für eine Totalordnung müsste gelten, dass für alle x,y in M (xRy oder yRx) gilt. Checke das mal für verschiedene Zahlen.

---

Dankeschön für die Hilfe, jetzt bin ich mir um Einiges sicherer! Die restlichen Elemente der Relation wären {2,4} und {2,5}. In Bezug auf die Totalordnung, da also {2,3}{2,4}{2,5}{2,6} gilt, und somit alle Elemente aus M mindestens ein Mal vorkommen, ist es eine Totalordnung? Oder würde sich der Allquantor auf alle möglichen Kombinationen der Zahlen beziehen, weil zb 3R4 und 4R3 gilt nicht, also wäre es dann doch keine Totalordnung?

---

und somit alle Elemente aus M mindestens ein Mal vorkommen, ist es eine Totalordnung?

Das reicht nicht. Je zwei Elemente müssen vergleichbar sein:

Oder würde sich der Allquantor auf alle möglichen Kombinationen der Zahlen beziehen, weil zb 3R4 und 4R3 gilt nicht, also wäre es dann doch keine Totalordnung?

Damit hast du dann auch schon ein Beispiel gefunden, warum es keine Totalordnung ist.

Answer 1

da die Elemente einer Totalordnung ja vergleichbar sein müssen

Das heißt es muss

• 2R3 oder 3R2 gelten,
• 2R4 oder 4R2 gelten,
• 2R5 oder 5R2 gelten,
• 2R6 oder 6R2 gelten,
• 3R4 oder 4R3 gelten,
• 3R5 oder 5R3 gelten,
• 3R6 oder 6R3 gelten,
• 4R5 oder 5R4 gelten,
• 4R6 oder 6R4 gelten,
  
• 5R6 oder 6R5 gelten.