Zeigen Sie, dass die Menge M := { (2,1,5), (1,0,2), (1,1,3) } ein Erzeugendensystem für U = {a∈ℝ3: 2a1 +a2 -a3 = 0} ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge M := { (2,1,5), (1,0,2), (1,1,3) } ein Erzeugendensystem für U = {a∈ℝ³: 2a₁ +a₂ -a₃ = 0} ist.

Dazu gehört auch, dass Sie nachweisen, dass die drei Vektoren aus M in U liegen.

Problem/Ansatz:

Nachweisen, dass Vektoren in U liegen:

2*2+1-5 = 0 => (2,1,5) ∈ U

2*1+0-2 = 0 => (1,0,2) ∈ U

2*1+1-3 = 0 = > (1,1,3) ∈ U

Allerdings verstehe ich nicht, wie ich zeigen kann, dass es sich tatsächlich um einen Erzeugenensystem für U handelt?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren \(\vec a\) aus der Menge \(U\) müssen die Bedingung \((2a_1+a_2-a_3=0)\) erfüllen.

Diese stellst du um \((a_3=2a_1+a_2)\) und gibst alle Vektoren \(\vec a\in U\) an:

$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\2a_1+a_2\end{pmatrix}=a_1\underbrace{\pink{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}}_{=\vec u_1}+a_2\underbrace{\pink{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}}_{=\vec u_2}$$

Die beiden pinken Basisvektoren spannen den Vektorraums \(U\) auf.

Nun rechnen wir mittels elementarer Spaltenoperationen die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren in \(M\) heraus. Unser Ziel ist es natürlich, die beiden pinken Basisvektoren von \(U\) zu erhalten:$$\begin{array}{ccc}-S_3 & -S_3 & -S_2\\\hline2 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\5 & 2 & 3\end{array}\to\begin{array}{ccc} & +S_3 & \\\hline1 & \phantom-0 & 0\\0 & -1 & 1\\2 & -1 & 1\end{array}\to\begin{array}{ccc} \vec m_1 & & \vec m_2\\\hline\pink1 & 0 & \pink0\\\pink0 & 0 & \pink1\\\pink2 & 0 & \pink1\end{array}$$

Die Vektoren \(U\) und aus \(M\) haben also eine gemeinsame Basis.

Daher ist \(M\) ein Erzeugendensystem für \(U\).

Comments

Wieso stellt man zu Beginn nach a₃ um? Geht es prinzipiell einfach nur darum dass der Unterraum von 2 Vektoren aufgespannt wird? Und warum nicht aus allen 3 (a₁, a₂, a₃)?

Könnte ich auch mit \( \begin{pmatrix} a1\\-2a1+a3\\a3 \end{pmatrix} \) starten? Man kommt ja dann auch zu \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ...

Kann man Spalten grundsätzlich immer einfach wie Zeilen verrechnen?

Was ist eig die Dimension von U {a ∈ ℝ³: 2a₁ + a₂ -a₃ = 0} ? Verstehe die Schreibweise nicht so richtig.

Viele Grüße und vielen Dank

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Gut erkannt, du hättest die Bedinungsgleichung \(2a_1+a_2-a_3=0\) auch nach jeder anderen Variablen umstellen können und hättest dann natürlich andere Basisvektoren erhalten. Eine Basis ist ja nicht eindeutig.

Das Entscheidende ist, dass du für den Unterraum \(U\) zwei Variablen hast, die du frei wählen kannst, man nennt solche frei wählbaren Variablen auch "Freiheitsgrade" oder "Dimensionen". Die dritte Variable ist dann aber zwingend durch die Bedingungsgleichung vorgegeben. Der Vektorraum \(U\) hat also zwei Freiheitsgrade bzw. zwei Dimensionen.

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Vielen Dank!

Wieso genau sind es aber bei U zB 2? Ist die Formel "Anzahl der Variablen - Anzahl der Zeilen, die nicht 0=0 sind" hier zutreffend oder warum genau kann ich zwei Variablen frei wählen?? Wieso ist die dritte zwingend vorgegeben, das verstehe ich leider noch nicht richtig...

Vielen Dank für deine Bemühung Tschakabumba!

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Du hast ja eine Bedinungs-Gleichung, die von den 3 Koordinaten erfüllt werden muss:$$2a_1+a_2-a_3=0$$Diese Gleichung kannst du nach einer Variablen umstellen:$$a_1=\frac{a_3-a_2}{2}$$$$a_2=a_3-2a_1$$$$a_3=2a_1+a_2$$Auf der rechten Seite stehen immer die beiden Koordinaten, die du frei wählen kannst. Es sind immer 2. Auf der linken Seite steht die Koordinate, die du nicht wählen kannst, sondern die einen bestimmen Wert haben muss, damit die Bediungsgleichung erfüllt ist.

Du kannst dir merken, dass jede Bedingungs.Gleichung einen Freiheitsgrad kostet.

Answer 2

Betrachte die einzeilige Matrix \(A=(2\; 1\; -1)\). Diese hat offenbar

den Rang 1, also hat die Lösungsmenge \(U\) des homogenen LGS

\(A\cdot a^T=0\) die Dimension 3-1=2. Man muss also

nur unter den 3 angegebenen Vektoren zwei linear unabhängige

finden, z.B. (1,0,2) und (1,1,3). Diese bilden dann eine Basis von \(U\).