Aloha :)
Von dem Rechteck ABCD kennen wir zunächst zwei Punkte: \(\quad A(-7|-3)\;;\;B(1|3)\).
a) Berechnen Sie die Länge \( \overline{A B} \) des Rechtecks!
$$\overline{AB}=\left\|\binom{1}{3}-\binom{-7}{-3}\right\|=\left\|\binom{8}{6}\right\|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte \( C \) und D, wenn das Rechteck halb so breit wie lang ist!
Um das Rechteck zu vollenden, müssen uns von den Punkten \(A\) bzw. \(B\) senkrecht zur Strecke \(\overline{AB}\) bewegen. Senkrecht zu \(\binom{8}{6}\) stehen die Vektoren \(\binom{-6}{8}\) und \(\binom{6}{-8}\). Wir entscheiden uns für den ersten Vektor und stellen fest, dass das resultierende Rechteck nicht eindeutig ist, denn wir könnten uns auch für den zweiten Vektor entscheiden. Da das Rechteck nur halb so breit wie lang sein soll, müssen wir zu \(A\) und \(B\) jeweils den Vektor \(\binom{-3}{4}\) addieren. Das heißt:$$C(-2|7)\quad;\quad D(-10|1)$$
c) Wie viel misst der Flächeninhalt des Rechtecks?
$$F=10\cdot5=50$$
d) Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts des Rechtecks?
Den Mittelpunkt \(M\) des Rechtecks finden wir, wenn wir vom Punkt \(A\) aus die halbe Diagonale \(\overrightarrow{AC}\) entlang laufen:$$\vec m=\vec a+\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\vec a+\frac12\left(\vec c-\vec a\right)=\frac12(\vec a+\vec c)=\frac12\binom{-9}{4}=\binom{-4,5}{2}$$Der Mittelpunkt ist also \(M(-4,5|2)\).
