Ist es möglich dies mit partieller Integration zu lösen, wenn ja wie?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Stammfunktion von (ln(\( \frac{x}{2} \)))² . Ist es möglich dies mit partieller Integration zu lösen, wenn ja wie? Vielen Dank!

Comments

Ja.

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst zwei Mal partiell ableiten...

Die erste partielle Ableitung sieht so aus:

$$\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln^2\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln^2\left(\frac x2\right)}_{=v}-\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{2\ln\left(\frac x2\right)}^{\text{Abl. } (\cdots)^2}\cdot\overbrace{\frac{1}{\frac x2}}^{\text{Abl. }\ln(\cdots)}\cdot\overbrace{\frac 12}^{\text{Abl. } \frac x2}}_{=v'}\,dx\implies$$$$\int\ln^2\left(\frac x2\right)=x\ln^2\left(\frac x2\right)\pink-\int2\ln\left(\frac x2\right)dx$$

Die zweite partielle Ableitung sieht so aus:

$$\int\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx=\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx-\int\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\frac x2}}^{\text{Abl. }\ln(\frac x2)}\cdot\overbrace{\frac12}^{\text{Abl. }\frac x2}}_{=v'}\,dx\implies$$$$\int2\ln\left(\frac x2\right)=2x\ln\left(\frac x2\right)-\int2\,dx=2x\ln\left(\frac x2\right)-2x+\text{const}$$

Wir setzen die Lösung zusammen und beachten dabei das \(\pink{\text{Minuszeichen}}\) oben:$$\int\ln^2\left(\frac x2\right)\,dx=x\ln^2\left(\frac x2\right)-2x\ln\left(\frac x2\right)+2x+\text{const}$$

Comments

Alternativ kannst du auch (ln(x/2))^2 = ln(x/2)*ln(x/2) = u'*v benutzen.

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Hatte ich auch zuerst überlegt, dann muss man aber im ersten Schritt das Integral von \(\ln(\frac x2)\) kennen. Deswegen habe ich mich für die angegebene Lösung entschieden.

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Vielen Dank für die Antwort, sie hat mir sehr geholfen und ich konnte es endlich verstehen und die Aufgabe lösen :)