Ableitung bei einer Exponentialfunktion mit Parameter

Question

Aufgabe:

Ableitung einer E-Funktion multipliziert mit Parameter

Problem/Ansatz:

Folgende Exponentialfunktion ist gegeben:

v(t) = (2e/3) *t *e^(-1/15 * t)

Nun habe ich mithilfe der Produktregel u´ * v + u * v´ gerechnet, komme aber auf ein anderes Ergebnis als in der Lösung und die Funktion scheint auch beim Einsetzen von Werten falsch zu sein.

Meine Teilelemente sind:

u = (2e/3) * t

u´ = (2e/3)

v = e^(-1/15 * t)

v´ = -1/15 * e^(-1/15 * t)

Was habe ich dabei nicht bedacht und wie genau komme ich nun auf die 1. Ableitung der gegebenen Exponentialfunktion?

Answer 1

\(v(t) = \frac{2e}{3} *[t *e^{-\frac{1}{15}*t}]\)

\(v´(t) = \frac{2e}{3} *[1*e^{-\frac{1}{15}*t}+t*e^{-\frac{1}{15}*t}* (-\frac{1}{15})]\)     

\(v´(t) = \frac{2e}{3} *[e^{-\frac{1}{15}*t}-\frac{1}{15}*t*e^{-\frac{1}{15}*t} ]\)   

\(v´(t) = \frac{2e}{3} *e^{-\frac{1}{15}*t}*(1-\frac{1}{15}*t) \) 

Comments

Danke!

In der Aufgabe steht, dass die konstante Faktorenregel, die Produktregel sowie die Kettenregel angewendet wird bei der Bildung der 1. Ableitung.

Die Produkt- sowie Faktorenregel kann ich erkennen, wo wende ich aber bei der Berechnung die Kettenregel an?

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Ich habe die Stelle markiert, wo die Kettenregel verwendet wird.

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Ich kann das an der Stelle immer noch nicht erkennen. Hier sieht man doch eine Multiplikation der Zahl e hoch einer Zahl mit einer anderen Zahl, somit nutze ich hier doch wenn überhaupt die Produktregel, wenn ich davon ableiten müsste, was ja nicht der Fall ist weil das schon die erste Ableitung darstellt

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Mal einige Beispiele:

\(f(x)=e^{x}=e^{1*x}\)

\(f´(x)=e^{1*x}*1=e^{x}\)

\(f(x)= e^{\frac{1}{3}x} \)

\(f´(x)= e^{\frac{1}{3}x}*\frac{1}{3} \)

\(f(x)= e^{sin(x)} \)

\(f´(x)= e^{sin(x)}*cos(x) \)

\(g(x)=(2x+5)^{4} \)

\(g´(x)=4*(2x+5)^{3} *2\)

Answer 2

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Dort wird die Funktion leider sehr anders dargestellt nach der Eingabe und ich kann die Rechenschritte nicht nachvollziehen