Tangenten an Parabeln bilden Rechteck

Question

ich habe diese Funktion:

f_a(x) = ax²+(1-4a)x+3a

Die Parabeln f_-a und f_a schneiden sich in zwei Punkten.

Ich soll zeigen das die Tangenten an die Schaubilder dieser Funktionen in den beiden Schnittpunkten ein Parallelogramm bilden. Für den Fall das a= 2 ist, sprich f_-2 und f₂. 

Das habe ich verstanden ich muss einfach die Steigung in den Schnittpunkten über die Ableitung berechnen, zeigen das jeweils 2 Tangenten parallel sind und so weiter.

 

Nun muss ich aber noch a so berechnen, dass das entstehende Parallelogramm ein Rechteck bildet.... weißt einer wie das geht?

ich hoffe ihr habt die Frage verstanden und jemand kann mir weiterhelfen

Answer 1

Dafür müssen jeweils zwei Tangenten senkrecht aufeinander stehen, das heißt für ihre Steigungen m und n muss gelten:

m = -1/n

Dafür braucht man erstmal die Schnittpunkte:

f_a(x) = f_-a(x)

ax² + (1-4a)x + 3a = -ax² + (1+4a)x - 3a  |+ax²-(1+4a)x + 3a

2ax² -8ax+6a = 0  |:2a

x² - 4x + 3 = (x-3)(x-1) = 0

Die Schnittpunkte liegen also bei x = 3 und x = 1.

In der ersten Aufgabe hast du ja schon gezeigt, dass jeweils zwei Tangenten parallel sind, also genügt es zu zeigen, dass an einem Punkt ein rechter Winkel vorliegt, z.B. bei x = 1.

Zu fordern ist also:

f_a'(1) = -1/f_-a'(1)

f_a'(x) = 2ax + 1 - 4a

⇒ f_a'(1) = 2a+1-4a = 1-2a
    f_-a'(1) = -2a + 1 + 4a = 1+2a

Löse die Gleichung:

1-2a = -1/(1+2a)   |*(1+2a)

1 - 4a² = -1

2 = 4a²  |:4

a² = 1/2

a = 1/√2

 

 

 

Comments

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