Medikamentenabbau - wie lautet die Funktion?

Question

Aufgabe:

Gleichung aufstellen Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nebenstehende Tabelle gibt an, welche Menge \( N(t) \) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:

\( t \)                       4        7

\( N(t) \) in \( m g \)   60      18

Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt.

Problem/Ansatz:

wie lautet die Lösung?

Answer 1

Exponentialfunktion N

\(N(t) = a\cdot q^t\)

Punkte einsetzen. Du bekommst dadurch zwei Gleichungen. Löse das Gleichungssystem um \(a\) und \(q\) zu bestimmen.

Comments

Das ergibt allerdings eine sehr unhandliche Lösung, sofern man sie nicht großzügig rundet.

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60 ist der Ausgangswert, den man meist als N(0) bezeichnet.

Ich werde N(7) auf N(3) abändern.

Das könnte verwirrend.

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@Gast hj2166 Die Lösung ist dann zwar unhandlich, aber ich möchte jemandem, der grundlegende Probleme im Umgang mit Funktionen hat, nicht auch noch horizontale Verschiebung abverlangen.

@ggT Du änderst dadurch die Bedeutung der Variablen \(t\). Die Bedeutung der Variablen \(t\) ist aber in der Aufgabenstellung vorgegeben.

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Das stimmt.

Man könnte vlt. schreiben:

N(t)= 60*0,3^(t-4)/3

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Horizontale Verschiebung ist aber doch genau das, was die Aufgabenstellun verlangt, wenn nicht der N(0)-Wert angegeben ist.

298,7603·0,669433^t ist wirklich unhandlich, wenn man es nicht wie oben angedeutet drastisch zu 300·(2/3)^t rundet.

Generell gilt doch mit einem Anfangszeitpunkt t_A und einem Bestand N_A zu diesem Zeitpunkt, dass wenn sich der Bestand innerhalb eines Zeitraums Δt mit dem Faktor b ändert, dass sich dann der Bestand zu einem Zeitpunkt t durch N(t) = N_A·b^(t-t_A^)/Δt berechnen lässt. Dieser allgemeine Zusammenhang muss doch (ähnlich wie die pq-Formel) nicht jedesmal neu hergeleitet werden.

Hier ergibt sich also ohne Rechnung sofort N(t) = 60·0,3^(t-4)/3 = 18·0,3^(t-7)/3

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Das ergibt allerdings eine sehr unhandliche Lösung, sofern man sie nicht großzügig rundet.

Die Lösung ist weder unhandlich, noch muss man großzügig runden; sie kann sogar exakt und primitiv errechnet werden.

Answer 2

N(t) = N(0)*a^t

N(3) = 60*a^3= 18

60*a^3 = 18

a= (18/60)^(1/3)= (3/10)^(1/3)

N(t) = 60*0,3^(t/3)

oder:

mit N(0) = Menge in t0:

N(0) =

60*0,3^(-4/3) = 298,76

N(t) = 298,76*0,3^(t/3)

Comments

N(0) ist aber nicht das Gleiche wie N(4).

Der Anfangswert ist nicht 60,

Answer 3

n ( t ) = n0 * a^t

(  t | n )
( 4 | 60 )
( 7 | 18 )
n ( 4 ) = n0 * a^4 = 60
n ( 7 ) = n0 * a^7 = 18

n0 * a^7 = 18
n0 * a^4 = 60  | teilen
--------------------------
a^7 / a^4 = 18 / 60
a^3 = 18 / 60
a = 0.6694

n0 * 0.6694^7 = 18
n0 = 298.8632

Probe
298.8632 * 0.6694^4 = 60
59.9665 = 60 Bingo

n ( t ) = 298.8632 * 0.6694^t