Aufgabe:
Entwickle die Funktion
f(x) = \( \frac{3x-7}{(x-2)*(x-3)^2} \) - x
in eine Potenzreihe um 0.
Problem/Ansatz:
Zu Beginn habe ich die Funktion durch Partialbruchzerlegung zerlegt und bekam f(x) = (\( \frac{1}{x-3} \) - \( \frac{1}{x-2} \) + \( \frac{1}{(x-3)^2} \)) - x. Die ersten zwei Summanden lassen sich durch die Geometrische Reihe zur Potenzreihe entwickeln. Der dritte Summand ebenfalls, nur habe ich hier noch das Cauchy Produkt beider Reihen ermittelt. Ich lasse die Details mal weg, damit es nicht zu lang wird (kontrolliert aber mit Wolfram Alpha). Insgesamt habe ich dann:
(\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2}(\frac{x}{2})^k - \frac{1}{3}(\frac{x}{3})^k + (k+1)\frac{1}{3}}(\frac{x}{3})^k \) ) - x
Nun meine eigentlich Frage: Was passiert mit dem x ganz zum Schluss, das ja nochmal subtrahiert wird von der Potenzreihe? Ist die Aufgabe schon gelöst, wenn man das jetzt so stehen lässt? Hatte gehofft das x fällt weg, wenn man die Potenzreihen erstmal ohne das x entwickelt und man die Potenzreihe für x=0,x=1 ausrechnet. Das ist hier aber leider nicht der Fall. Daher: Bin ich an der Stelle schon fertig, oder gibt es noch einen Weg den ich nicht sehe, um das x auch noch in die Potenzreihe zu bekommen? Ist es eine Möglichkeit x = e^(ln(x)) zu verwenden und das dann mit der Potenzreihe der e-Funktion zu entwickeln, sodass dass der Ausdruck in der Potenzreihe für die e-Funktion ebenfalls in die bereits existierende Potenzreihe reingezogen werden kann?
