Produktform einer Funktion

Question

Aufgabe:

y=x^2-4x+4

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe muss ich die Funktion in die Produktform umwandeln. In den Lösungen steht dass dann (x-2)^2 raus kommen muss. Jedoch weiß ich nicht, wie man Funktionen in Produktform umwandelt und wollte fragen, wie man da vorgeht.

Comments

Geht es Dir um die Umwandlung von Funktionen oder von quadratischen Funktionen?

Answer 1

Ja, da steht die 2. binomische Formel

umständlich:

x^2-4x+2^2-2^2+4 = (x-2)^2 +0 = (x-2)^2 = (x-2)*(x-2)

Du kommst auch mit der pq-Formel drauf, wenn du das Ganze Null setzt.

Comments

Wie kommen sie auf die x2-4x+2^2-2^2

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Das nennt man quadratische Ergänzung.

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x²-4x+2²-2² = (x-2)² +0 ist wohl nicht richtig.

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Danke, ich hatte +4 vergessen.

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Hätte mir auch passieren können.

Answer 2

Vergleiche die Terme x²-4x+4 und

                  (x-a)²= x²-2ax+a²

Dann ist für a=2 sowohl 2a=4 als auch a²=4.

Answer 3

Hallo,

binomische Formel rückwärts angewendet

      y= x²-4x+4                      2. Binomische Form;       4 = 2*2 oder 2²

        = x ² -2*2x +2²        daraus ergibt sich    y= ( x -2)²

oder aber mit der pq Formel

    0= x²-4x+4

       x(1,2) = 2 ±\( \sqrt{2²-4} \)

       x(1,2) = 2                         y= (x-2)²

oder aber quadratisch ergänzen

   y= x² -4x + 4   +2² -2² 

        = x² -4x +2²  +4 -4

       = (x-2)²

    

Answer 4

Benutze den Satz von Vieta:

\(y=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+px+q=x^2-4x+4\), also

\(x_1+x_2=-p=4, \; x_1x_2=4\). Dies liefert \(x_1=x_2=2\).

Comments

Benutze den Satz von Vieta:

Kommt der heute in der Schule noch vor?

Ich nehme ihn auch öfter.

Die pq-Formel scheint den Sieg davon getragen haben,

auch die abc-Formel sieht man kaum noch.

Spricht eigentlich irgendetwas dagegen, sich auf die pq-Formel

zu beschränken?

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Spricht eigentlich irgendetwas dagegen, sich auf die pq-Formel
zu beschränken?

Ja. Ich halte zur Verfügung stehende Methodenvielfalt
für wichtig. Allein schon wegen der Förderung der Kreativität
im mathematischen Problemlösen.

Answer 5

Am einfachsten ist es die binomische Formel zu erkennen

(a - b)^2 = a^2 - 2·a·b + b^2

f(x) = x^2 - 4·x + 4 = x^2 - 2·2·x + 2^2 = (x - 2)^2

Ansonsten faktorisiere nach dem Satz von Vieta

(x + a)·(x + b) = x^2 + a·x + b·x + a·b = x^2 + (a + b)·x + a·b

f(x) = x^2 - 4·x + 4

Suche hier also zwei Zahlen a und b deren Produkt a·b = 4 ergibt und deren Summe a + b = -4 ergibt.

Da (-2)·(-2) = 4 und (-2) + (-2) = -4 sind die Zahlen recht einfach zu finden. Dann kann man den Term zerlegen.

f(x) = x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)·(x - 2) = (x - 2)^2