Zeige dass ein beliebiges Polynom f∈F2 ⌊x⌉ mit deg(f)=4 und eine Nullstelle in K auch eine Nullstelle in F2 hat.

Question

Aufgabe: Sei K ein Körper mit 2¹⁵ =32768 Elementen

Zeige dass ein beliebiges Polynom f∈F₂ ⌊x⌉ mit deg(f)=4 und eine Nullstelle in K auch eine Nullstelle in F₂ hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir erst einmal ein beliebiges Polynom mit Grad 4 geschnappt: f= ax⁴ +bx³ +cx² +dx +e

Eine Nullstelle in K bedeutet es gibt ein Element k ∈ K sodass f(k)=0

In F₂ habe ich nur die Elemente 0,1 sodass entweder f(0)=0 oder f(1) =0 sein kann

Leider verstehe ich nicht wie man die Nullstelleneigenschaft von f in K auf den "kleineren" Körper überträgt

Bin für jeden Tipp dankbar

Answer 1

Der Körpergrad von \(K\) über \(F_2\) ist

\([K:F_2]=15\). Jeder Teilkörper hat daher den Körpergrad

1,3,5 oder 15.

Ist nun \(f\) irrduzibel über \(F_2\) und \(\alpha\) eine

Nullstelle von \(f\) in \(K\), so gilt \([F_2(\alpha):F_2]=4\).

Dies ist nicht 1,3,5 oder 15. Folglich muss \(f\) reduzibel sein,

etwa \(f=gh\) mit \(\deg(g)=1\) und \(\deg(h)=3\) oder

\(\deg(g)=\deg(h)=2\).

Im ersten Fall existiert natürlich eine Nullstelle von \(g\)

in \(F_2\). Im zweiten Falle argumentiere so:

Ist \(\alpha\) eine Nullstelle von \(f\) in \(K\),

so gilt o.B.d.A. \(g(\alpha)=0\), d.h.

\([F_2(\alpha):F_2]\)=1,3,5 oder 15, andererseits

=1 oder =2, mithin =1 und folglich \(\alpha\in F_2\).

Comments

Ah okay du argumentierst über den Körpergrad.

Wieso ist der Körpergrad von ⌈F₂(α):F₂  ⌉ =4 ? und wie hängt dies mit der Reduzibilität von f zusammen? Außerdem verstehe ich den letzten Schritt noch nicht so ganz. Warum ist nun der Körpergrad  ⌈F2(α):F2  ⌉ = 1,3,5 oder 15 ? und wieso folgerst du zum Schluss dass er 1 ist? vielleicht kannst du mir diese Schritte genauer erklären

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Wieso ist der Körpergrad von ⌈F2(α):F2  ⌉ =4 ?

Wenn \(f\) irreduzibel ist, dann ist der Grad der einfachen
Körpererweiterung \(F_2(\alpha)\) gleich dem Grad des
Minimalpolynoms, also dem von \(f\).

Warum ist nun der Körpergrad ⌈F2(α):F2  ⌉ = 1,3,5 oder 15 ?

Wenn \(K_1\subset K_2\subset K_3\) endliche Körpererweiterungen
sind, so gilt \([K_3:K_1]=[K_3:K_2]\cdot [K_2:K_1]\)