Aloha :)
Der Tipp zur Berechnung des Integrals ist gut. Wir substutieren also:$$\pink{x\coloneqq\frac12\sin(u)}\quad\implies\quad\frac{dx}{du}=\frac12\cos(u)\quad\implies\quad\green{dx=\frac12\cos(u)\,du}$$und formen das Integral entsprechend um:$$I=\int\sqrt{\frac14-\pink x^2}\;\green{dx}=\int\sqrt{\frac14-\left(\pink{\frac12\sin(u)}\right)^2}\cdot\green{\frac12\cos(u)\,du}$$$$\phantom I=\int\sqrt{\frac14-\frac14\sin^2(u)}\cdot\frac12\cos(u)\,du=\int\frac12\underbrace{\sqrt{1-\sin^2(u)}}_{=\cos(u)}\cdot\frac12\cos(u)\,du=\frac14\int\red{\cos^2(u)}\,du$$
Das Integral über \(\red{\cos^2(u)}\) ist nun die eigentliche "Hürde" bei dieser Aufgabe. Es ist naheliegend, es über partielle Integration zu bestimmen. Ich empfehle jedoch die Verwendung einer trigonometrischen Indentität:$$\phantom I=\frac14\int\left(\red{\frac12+\frac12\cos(2u)}\right)dx=\frac18\int\left(1-\cos(2u)\right)\,du=\frac18\left(u-\blue{\frac12\sin(2u)}\right)+C$$
Für die Rücksubstution nutzen wir \(\pink{2x=\sin(u)}\) bzw. \(\pink{u=\arcsin(2x)}\):$$\phantom I=\frac18\left(u-\blue{\sin(u)\cos(u)}\right)+C=\frac18\left(u-\sin(u)\cdot\sqrt{1-\sin^2(u)}\right)+C$$$$\phantom I=\frac18\arcsin(2x)-\frac18\cdot2x\cdot\sqrt{1-(2x)^2}+C=\frac18\arcsin(2x)-\frac x4\sqrt{1-4x^2}+C$$
