Aufgabe:
Hier soll bei Aufgabe b.) die Taylorreihe der Funktion f bestimmt werden. Gegeben sei die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x):=\sqrt{1+\sin (\pi \cdot x)} \)
(a) Zeigen Sie die Identität
\( 1+\sin (\pi \cdot x)=2 \cdot\left[\cos \left(\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}, \quad x \in \mathbb{R} . \)
Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem des Kosinus
\( \cos (y+z)=\cos (y) \cdot \cos (z)-\sin (y) \cdot \sin (z), \quad y, z \in \mathbb{R} . \)
(b) Bestimmen Sie die Taylorreihe \( T\left(x ; f, \frac{1}{2}\right) \) von \( f \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=\frac{1}{2} \).
(b) Wegen des 1. Teils lässt sich \( f \) als
\( f(x)=\sqrt{1+\sin (\pi \cdot x)}=\sqrt{2} \cdot\left|\cos \left(\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right| \)
schreiben. Mit der Potenzreihenentwicklung des Kosinus ergibt sich
\( \sqrt{2} \cdot \cos \left(\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2 n}}{(2 n) !} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n}, \quad x \in \mathbb{R} . \)
Für \( x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \) gilt \( -\frac{\pi}{2}<\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2} \) und damit
\( \cos \left(\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right)>0 \)
Für jedes \( x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \) folgt
\( f(x)=\sqrt{1+\sin (\pi \cdot x)}=\sqrt{2} \cdot \cos \left(\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2 n}}{(2 n) !} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n} \)
und die Potenzreihe auf der rechten Seite ist zugleich die Taylorentwicklung von \( f \) im Punkt \( x_{0}=\frac{1}{2} \).
Problem/Ansatz:
Damit die Funktion f durch die Potenzreihe des cosinus dargestellt werden kann,wird in den Lösungen vorausgesetzt,dass cos((x-1/2)* pi/2) > 0 ist,damit man den Betrag dann weglassen kann.Warum wird hier nicht >= zugelassen ?
