Bestimmen von ganzrationalen Funktionen mit vorgegeben Eigenschaften

Question

Aufgabe: Die Punkte $P_1(t| \frac{5}{9}t^2$ ), $P_2( \sqrt{6}•t |0)$, $P_3( -\sqrt{6}•t |0)$ liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion.

Problem/Ansatz:

f(x)=ax²+bx+c

Kann mir bitte jemand helfen :(

Comments

Ist $P_1=(t\;|\;\frac59t^2)$ ?

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Ja, richtig! :)

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Davon darfst du mMn ausgehen. Es wird so sehr oft geschrieben ohne Klammer.

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Liegen die Punkte $P_{2,3}$ bei $P_{2,3} = (\pm\sqrt{6t}|\,0)$ oder bei $P_{2,3}=(\pm\sqrt{6}\, t|\,0)$? Ich vermute letzteres - oder?

Answer 1

Aufgabe: Die Punkte $P_1( t |\frac{5}{9}t^2)$, $P_2( \sqrt{6t} |0)$, $P_3(- \sqrt{6t} |0)$liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion.

$f(x)=ax^2+bx+c$

$P_1( t |\frac{5}{9}t^2)$

$f(t)=a•(t)^2+b•(t)+c=\frac{5}{9}t^2$

$P_2( \sqrt{6t} |0)$

$f( \sqrt{6t})=a•( \sqrt{6t})^2+b•(\sqrt{6t})+c=0$

$P_3(- \sqrt{6t} |0)$

$f(- \sqrt{6t})=a•( -\sqrt{6t})^2+b•(-\sqrt{6t})+c=0$

Löse nun das Gleichungssystem

Comments

Weg über die Nullstellenform der quadratischen Parabel:

Das t ist nicht unter der Wurzel:

$f(x)=a*(x-\sqrt{6}*t)*(x+\sqrt{6}*t)=a*(x^2-6t^2)$

$P_1( t |\frac{5}{9}t^2)$

$f(t)=a*(t^2-6t^2)=-5at^2$

$-5at^2=\frac{5}{9}t^2$

$a=-\frac{1}{9}$

$f(x)=-\frac{1}{9}*(x^2-6t^2)$

Answer 2

Setze die 3 Punkte in f(x) ein und erhalte 3 Gleichungen für 3 Unbekannte.

1. a*t²+b*t+c = (5/9)*t²

2. ...

3. ...

a, b, c wird in Abhängigkeit von t ausgedrückt.

Lass dich dadurch nicht verwirren.

Answer 3

Aloha :)

Von der gesuchten quadratischen Funktion $f(x)$ kennst du bereits zwei Nullsellen, nämlich:$$N_1(\sqrt{6t}|0)\quad\text{und}\quad N_2(-\sqrt{6t}|0)$$

Daher wissen wir schon sehr genau, wie sie aussehen muss:$$f(x)=a\cdot\left(x-\sqrt{6t}\right)\cdot\left(x+\sqrt{6t}\right)\quad;\quad a=\text{const}$$

Die erste Klammer wird Null für $x=\sqrt{6t}$ und die zweite für $x=-\sqrt{6t}$.

Die beiden Klammern können wir mit der dritten binomischen Formel zusammenfassen:$$f(x)=a\cdot(x^2-6t)\quad;\quad a\in\mathbb R^{\ne0}=\text{const}$$

Für den Fall $(t=0)$ gibt es keine eindeutige Funktionsgleichung, denn alle 3 gegebenen Punkte sind mit $(0|0)$ identisch, sodass jede Parabel mit Scheitelpunkt $(0|0)$ die Bedingungen erfüllt:$$\pink{f(x)=a\cdot x^2\quad\text{mit }a\in\mathbb R^{\ne0}\quad\text{für }t=0}$$

Für den Fall $t\ne0$ erhalten wir die Konstante $a$ durch Einsetzen der Koordinaten von $P_1(t\big|\frac59t^2)$:$$\frac59t^2=f(t)=a\cdot(t^2-6t)\stackrel{\div t}{\implies}\frac59t=a(t-6)\implies a=\frac{5t}{9(t-6)}$$

Für den Fall $t=6$ ist keine Konstante $a$ definiert, d.h. für diesen Fall gibt es keine quadratische Funktion, bei der alle 3 Punkte auf dem Graphen liegen.$$\pink{f(x)=\text{nicht definiert}\quad\text{für } t=6}$$

Für alle anderen $t\in\mathbb R$ gilt jedoch:$$\pink{f(x)=\frac{5t}{9(t-6)}(x^2-6t)\quad;\quad t\ne0\;\land\;t\ne6}$$

Answer 4

Die Nullsstellen sind bekannt, also haben wir

$$p_t(x) = a(x-\sqrt{6t})(x+\sqrt{6t})=a(x^2-6t)$$

Für den Punkt $P_1$ muss gelten:

$$p_t(t) = a(t^2-6t) = at(t-6) \stackrel{!}{=}\frac 59 t^2$$

So haben wir:
$t=0 \Rightarrow p_0(x) = ax^2$ für beliebiges $a\neq 0$

$t=6 \Rightarrow a\cdot 0 = \frac 59 t^2 \Rightarrow$ keine Lösung (keine Parabel)

$t\neq0, t\neq 6 \Rightarrow a=\frac 59\cdot \frac t{t-6} \Rightarrow p_t(x) = \frac {5t}{9(t-6)}(x^2-6t)$