Aloha :)
Von der gesuchten quadratischen Funktion \(f(x)\) kennst du bereits zwei Nullsellen, nämlich:$$N_1(\sqrt{6t}|0)\quad\text{und}\quad N_2(-\sqrt{6t}|0)$$
Daher wissen wir schon sehr genau, wie sie aussehen muss:$$f(x)=a\cdot\left(x-\sqrt{6t}\right)\cdot\left(x+\sqrt{6t}\right)\quad;\quad a=\text{const}$$
Die erste Klammer wird Null für \(x=\sqrt{6t}\) und die zweite für \(x=-\sqrt{6t}\).
Die beiden Klammern können wir mit der dritten binomischen Formel zusammenfassen:$$f(x)=a\cdot(x^2-6t)\quad;\quad a\in\mathbb R^{\ne0}=\text{const}$$
Für den Fall \((t=0)\) gibt es keine eindeutige Funktionsgleichung, denn alle 3 gegebenen Punkte sind mit \((0|0)\) identisch, sodass jede Parabel mit Scheitelpunkt \((0|0)\) die Bedingungen erfüllt:$$\pink{f(x)=a\cdot x^2\quad\text{mit }a\in\mathbb R^{\ne0}\quad\text{für }t=0}$$
Für den Fall \(t\ne0\) erhalten wir die Konstante \(a\) durch Einsetzen der Koordinaten von \(P_1(t\big|\frac59t^2)\):$$\frac59t^2=f(t)=a\cdot(t^2-6t)\stackrel{\div t}{\implies}\frac59t=a(t-6)\implies a=\frac{5t}{9(t-6)}$$
Für den Fall \(t=6\) ist keine Konstante \(a\) definiert, d.h. für diesen Fall gibt es keine quadratische Funktion, bei der alle 3 Punkte auf dem Graphen liegen.$$\pink{f(x)=\text{nicht definiert}\quad\text{für } t=6}$$
Für alle anderen \(t\in\mathbb R\) gilt jedoch:$$\pink{f(x)=\frac{5t}{9(t-6)}(x^2-6t)\quad;\quad t\ne0\;\land\;t\ne6}$$
