Aloha :)
Auslöschung passiert bei numerischen Berechnungen auf Computern, wenn man zwei fast gleich große Zahlen subtrahiert. Dann werden in der Fließkomma-Darstellung die vorderen Bits zu 0 und die hinteren Bits werden per Normierung nach vorne geschoben. Die dabei frei werdenden hinteren Plätze werden mit Nullbits gefüllt. Dabei können erhebliche Abweichungen enstehen. Unser Ziel ist es daher, Subtraktionen fast gleich großer Zahlen zu vermeiden.
Für \(|x|\ll1\) sind beide Brüche ungefähr \(1\), das pinke Minuszeichen ist also das Problem:$$\frac{1}{1+2x}\pink-\frac{1-x}{1+x}=\frac{1\cdot(1+x)-(1-x)\cdot(1+2x)}{(1+2x)(1+x)}=\frac{1+x-(1-x+2x-2x^2)}{(1+2x)(1+x)}$$$$\phantom{\frac{1}{1+2x}\pink-\frac{1-x}{1+x}}=\frac{2x}{(1+2x)(1+x)}$$Nach der Umformung tritt das Subtraktions-Problem nicht mehr auf, da ja \(|x|\ll1\) ist.
Für \(x\approx y\) findet beim Argument der Cosinus-Funktion Auslöschung statt. Wieder ist das pinke Minuszeichen das Problem. Naiv könnte man dafür die Additionstheoreme verwenden$$\cos(x\pink-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$$aber die Berechnung von 4 WInkelfunktionen kostet viel Zeit. Besser wäre:$$\cos(x\pink -y)=\sin\left(\frac\pi2-(x-y)\right)=\sin\left(\left(\frac\pi2+y\right)-x\right)$$
Da \(x\approx y\) ist, liegen \((\frac\pi2+y)\) und \(x\) um etwa \(\frac\pi2\) auseinander. Das ist weit genug, um Auslöschung bei der Subtraktion zu vermeiden.
