Beweis: Für alle n ≥ 4 gilt: n! ≥ 2^n

Question

Aufgabe:

Beweisen mittels vollständiger Induktion: Für alle n ≥ 4 gilt: n! ≥ 2^n

Problem/Ansatz:

beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter

(n+1)! ≥ 2^ (n+1)      weiter komme ich nicht voran

Comments

Vielleicht so:  (n+1)! = (n+1)·n! ≥ 2·2ⁿ = 2ⁿ⁺¹.

Answer 1

(n + 1)! = n!·(n + 1) ≥ 2^n·(n + 1) ≥ 2^n·2 = 2^(n + 1)

Comments

W ein ich es richtig verstanden habe hast Du hast also beide Seiten mit (n+1) multipliziert und danach n+1 gekürzt ? wie ist n! verschwunden ? und wie bist du von 2*n auf 2*n * 2 gekommen

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(n + 1)!

Zunächst die Fakultät in 2 Faktoren schreiben

= n!·(n + 1)

Jetzt n! durch 2^n abschätzen. Induktionsvoraussetzung

≥ 2^n·(n + 1)

Jetzt n + 1 durch 2 abschätzen

≥ 2^n·2

Jetzt 2^n * 2^1 als 2^(n + 1) schreiben

= 2^(n + 1)

Damit ist der Induktionsschritt fertig.