Ganzrationale Funktionsgleichung dritten Grades aufstellen mit dem Hochpunkt P(2/2) und der Nullstelle (0/0)

Question

Aufgabe:

Der Graph eines Polynoms dritten Grades berührt die X-Achse im Ursprung. Zudem kann man erkennen, dass sich an dem Punkt P(2/2) ein Hochpunkt befindet. Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.

Problem/Ansatz

Aus dem Informationstext ist also gegeben, dass…

f(x) = ax³+ bx² + cx + d

f‘(x) = 3ax² + 2bx + c

f“(x) = 6ax+ 2b

f(0)=0

f(2)=2

f“(2) <0

Und wenn man dies dann einsetzt kommt ja d=0 und c=0 heraus.

Hier haben ich den Faden verloren…

Meine Lösungen geben mir dann folgenden Lösungsweg, den ich aber nicht verstehe.

f(2) = 8a+ 4b = 0

f‘(2)= 12a+4b = 0   -> a = -1/3b

Setzt man den zweiten in den ersten Teil ein erhält man:

-8/3b + 4b = 2    -> b= 3/2 und a= -1/2

Welches man nun in die Funktionsgleichung einsetzt.

Danke, im Voraus!

Comments

Dir fehlt nur noch

f'(0)=0 und f'(2)=0.

f(0)=0 und f'(0)=0 bewirken, dass d=0 und c=0 ist.

Dann bleiben noch zwei Gleichungen für a und b, aber du hast ja schon ein paar Antworten bekommen.

Answer 1

Der Graph eines Polynoms dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Zudem kann man erkennen, dass sich an dem Punkt P(2|2) ein Hochpunkt befindet. Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.

berührt die x-Achse im Ursprung:  hier ist eine doppelte Nullstelle

\(f(x)=a*x^2*(x-N)\)

\(P(2|2)\):

\(f(2)=a*2^2*(2-N)=4a*(2-N)\)

1.)

\(4a*(2-N)=2\)→\(2a*(2-N)=1\)    →  \(a=\frac{1}{4-2N}\)

\(f(x)=a*x^2*(x-N)\)

2.)

P(2|...) ein Hochpunkt:

\(f´(x)=\frac{1}{4-2N}*[2x*(x-N)+x^2]\)

\(f´(2)=\frac{1}{4-2N}*[2*2*(2-N)+2^2]\)

\(\frac{1}{4-2N}*[2*2*(2-N)+2^2]=0\)

\(N=3\)      \(a=\frac{1}{4-2*3}=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}*x^2*(x-3)\)

Comments

Dankeschön !

---

Wegen der Extrema hat f ' Nullstellen bei 0 und 2, ist also von der Form f'(x) = ax(x-2) = a(x^2-2x) und deshalb ist f(x)=a*(x^3/3-x^2)+b und wegen f(0)=0 ist b=0 und wegen f(2)=2 ist a=2/(8/3-4)=-3/2 , zusammen f(x) = -3/2(x^3/3-x^2) = -1/2x^3+3/2x^2

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\(f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d\)

berührt die x-Achse im Ursprung:

\(f(0)=d\)

1.) \(d=0\)

\(f´(x)=3a*x^2+2b*x+c\)

Ursprung Extremwert

\(f´(0)=3a*0^2+2b*0+c\)

2.) \(c=0\)

Hochpunkt:

\(H(2|2)\)

\(f(2)=a*2^3+b*2^2=8a+4b\)

3.)  \(8a+4b=2\)    \(4a+2b=1\)

Hochpunkt  Extremwert

\(f´(2)=3a*2^2+2b*2=12a+4b\)

4.) \(12a+4b=0\)    \(3a+b=0\)    \(b=-3a\)  in 3.)→

   →

\(4a-6a=1\)    \(-2a=1\)     \(a=-0,5\)  in 4.)  \(b=1,5\)

\(f(x)=-0,5x^3+1,5x^2\)

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

"Der Graph eines Polynoms dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung".

Diese Inforamtion ist sehr viel wert, denn sie verrät uns, dass in dem Funktionsterm der Faktor \(x^2\) auftauchen muss. Der Ansatz sieht daher so aus:$$f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-b)=ax^3-abx^2$$Das Quadrat in \(x^2\) stellt sicher, dass die Funktion die \(x\)-Achse am Ursprung nicht schneidet. Für \(x<0\) und für \(x>0\) liefert \(x^2\) dasselbe positive Vorzeichen.

Nun wissen wir noch, dass \((2|2)\) ein Hochpunkt ist. Das heißt:

$$\small\text{1)}\quad2=f(2)=8a-4ab\implies\pink{4ab=8a-2}$$$$\small\text{2)}\quad0=f'(2)=\left[3ax^2-2abx\right]_{x=2}=12a-\pink{4ab}=12a-\pink{(8a-2)}=4a+2\implies a=-\frac12$$Wir setzen \(a=-\frac12\) in die pinke Gleichung ein:$$\pink{4ab=8a-2}\stackrel{(a=-\frac12)}{\implies}-2b=-4-2\implies-2b=-6\implies b=3$$

Die gesuchte Funktion lautet also:$$f(x)=-\frac12x^3+\frac32x^2$$

~plot~ -1/2*x^3+3/2*x^2 ; {0|0} ; {2|2} ; [[-2|4|-5|5]] ~plot~

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Dankeschön !

Answer 3

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0)=0
f'(0)=0
f(2)=2
f'(2)=0

Gleichungssystem

d = 0
c = 0
8a + 4b + 2c + d = 2
12a + 4b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,5·x^3 + 1,5·x^2

Skizze

~plot~ -0,5x^3+1,5x^2 ~plot~

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Dankeschön !

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Merk dir gerne die verlinkte Seite. Die kann recht gute Hilfe leisten.