Warum ist die Funktion f1 surjektiv?

Question

Hallo,

kann mir einer erklären, warum

f1:           f2:

ℤ ↦ 2ℤ    ℤ ↦ℤ

k ↦ 2k    k ↦ 2k

die Funktion f1 surjektiv sein soll ? f2 ist ja nicht surjektiv, weil das Bild 1 kein Urbild hat, weil immer mit 2 multipliziert wird. Warum ist denn dann f1 surjektiv, wenn doch bei f1 auch immer mit 2 multipliziert wird ? Worin liegt der Unterschied, die 1 müsste doch bei f1 auch kein Urbild haben ?

Answer 1

Hallo:-)

Sei \(w\in 2\Z\) beliebig. Dann gibt es ein \(t\in \Z\) mit \(w=2\cdot t\). Damit ist \(f_1\) surjektiv.

Zu \(f_2\) findest du zb für \(3\) kein \(l\in \Z\) mit \(3=2\cdot l\), weshalb \(f_2\) nicht surjektiv ist.

Comments

Ich habe den Unterschied jetzt verstanden, in f2 ist die 1 enthalten, die kein Urbild hat (oder die 3 wie in deinem Beispiel, die kein Urbild hat) ⇒ nicht surjektiv.

In f1 ist die 1 gar nicht enthalten, weil die Menge nur die Menge der geraden Zahlen abbildet und jedes dieser Bilder durch 2 mal t getroffen werden kann ⇒ surjektiv.

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Ja, im Prinzip richtig.

Answer 2

Aloha :)

"surjektiv" bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

$$f_1\colon\mathbb Z\to\mathbb 2Z\,,\,k\mapsto2k$$ist surjektiv, weil die Zielmenge nur gerade ganze Zahlen enthält, die alle durch die Abbildungsvorschrift getroffen werden.

$$f_2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z\,,\,k\mapsto2k$$ist nicht surjektiv, weil die Zielmenge auch alle ungeraden ganzen Zahlen enthält, von denen durch die Abbildungsvorschrift keine einzige getroffen wird.

Der Unterschied besteht in den Zielmengen.