Vollständige Induktion produkt

Question

Aufgabe: vollständige Induktion produkt

n

(1-1/k²) = n+1/2n

k=2

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal den Induktionsanfang gemacht und bewiesen dass es mit kleinst möglichem n stimmt. Dann Induktionsvoraussetzung es existiert n in natürlichen Zahlen für das die These gilt. Dann Induktionsbeweis: muss auch für n + 1 gelten... Und dann der Versuch Induktionsschritt:

n+1.                     n

∏ = (1-1/k²) =   ∏ (1-1/k²)*(1-1/n+1)

k=2.                     k=2

Dann habe ich versucht:

(n+1) + 1/2(n+1) = n+1/2n * (1-1/n+1) durch kürzen und umstellen gleichzusetzen, hier habe ich am Ende dann n+1/2n+2 = n+1/2n+2 raus aber durch einsetzen bekomme ich ein komisches Ergebnis raus...

Ich habe schon viel probiert aber irgendwie habe ich am Ende keine korrekte lösung.. Kann mir wer da helfen?

Comments

Im Induktionsschritt lautet der letzte Faktor nicht 1 - 1/(n+1), sonden 1 - 1/(n+1)².
(Bitte ggf. Klammern um die Nenner setzen.)

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Danke für die Hilfe, aber ich verstehe nicht wie ich damit fortfahren soll.

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Ich habe nun n+1/2n+2 = n+1/2n * (1/1 - 1/(n+1)²) stehen. Wie kann ich die Aufgabe nun korrekt beenden?

Answer 1

Wenn du wesentliche Klammern ignorierst, und dann einfach weiterrechnest, hast du eine Riesenchance, dich zu verrechnen.

Die Formel lautet zunächst

$$\prod_{k=2}^n\left(1-\frac 1{k^2}\right) = \frac{n+1}{2n}$$

Beim Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$ kommen eben nicht deine teilweise ungeklammerten Ausdrücke heraus sondern

$$\prod_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac 1{k^2}\right)= \prod_{k=2}^n\left(1-\frac 1{k^2}\right)\cdot \left(1-\frac 1{(n+1)^2}\right)$$

$$= \frac{n+1}{2n}\left(1-\frac 1{(n+1)^2}\right)$$

$$= \frac{n+1}{2n}\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}$$

$$= \frac{1}{2n}\frac{n^2 + 2n}{(n+1)}$$

$$= \frac{n + 2}{2(n+1)}$$

Und das ist genau die Induktionsbehauptung.

Comments

Danke für die ausführliche antwort. Die letzte Gleichung dann mit n+1/2n gleichsetzen?

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Ich habe beim Induktionsanfang 0,75 raus für k=2 und beim Induktionsschritt mit der erlangten Formel 0,66 für k=2. Soll das so?

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Die letzte Gleichung dann mit n+1/2n gleichsetzen?

Was meinst du damit? Und wieso lässt du wieder wichtige Klammern weg?

$n+1/2n \neq (n+1)/(2n)$

Ich habe beim Induktionsanfang 0,75 raus für k=2 und beim Induktionsschritt mit der erlangten Formel 0,66 für k=2. Soll das so?

Der Induktionssanfang entspricht $n=2$ und $\frac 34 = 0.75$ ist korrekt.

Was du aber mit den $\frac 23$ bei $n=3$ willt, ist mir unklar. Eventuell als Probe? Der Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$ hat allgemeingültigen Charakter und bezieht sich hier auf alle $n\geq 2$.