Biquadratische funktion - Nullstelle bestimmen?

Question

Ein Architekt möchte einen Torbogen konstruieren, der an einer Wand beginnt und auf dem davorliegenden Platz endet. Die Form soll durch den Graphen der biquadratischen Funktion

  f(x)=256+60x²−x⁴ gegeben sein, wobei die Funktion auf die Menge {x∈R: f(x)≥0} eingeschränkt wird.

Lösung ist 16 meter und das soll man wohl mittels Nullstelle rausbekommen. Kann mir jemand die Zwischenschritte erklären?

Answer 1

f(x) = 0

256 + 60·x^2 - x^4 = 0

- x^4 + 60·x^2 + 256 = 0

Subst. x^2 = z

- z^2 + 60·z + 256 = 0

z^2 - 60·z - 256 = 0 --> z = 64 ∨ z = -4

x^2 = 64 --> x = -8 ∨ x = 8

x^2 = -4 → Keine weitere Lösung

Der Abstand der Nullstellen beträgt daher 16 m.

Answer 2

x^4-60x^2-256 =0

(x^2-64)(x^2+4) = 0, nach Vieta

(x+8)(x-8)(x^2+4) = 0

x= -8 v x = 8

x^2+4 ist immer >0.

Answer 3

\(f(x)=256+60x^2−x^4\)

\(256+60x^2−x^4=0\)

\(−x^4+60x^2+256=0\)

\(−x^4+60x^2=-256\)

\(x^4-60x^2=256\)

\((x^2-\frac{60}{2})^2=256+(\frac{60}{2})^2\)

\((x^2-30)^2=256+900=1156  |\sqrt{~~}  \)

1.)

\(x^2-30=\sqrt{1156}  \)

\(x^2-30=34  \)

\(x^2=64  \)   \(x_1=8  \)    \(x_2=-8  \)

2.)

\(x^2-30=-\sqrt{1156}=-34  \)

\(x^2=-4  \)  entfällt , weil die Lösung ∈ ℂ

Der Abstand zwischen \(x_1\) und \(x_2  \) ist \(16m\)