Zeige die Folge ist monoton und konvergenz

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}$ eine konvergente Folge. Für $n \in \mathbb{N}$ sei $s_{n}:=\sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n}\right\}$. Beweisen Sie:
a) Die Folge $\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ ist monoton.
b) Die Folge $\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ ist konvergent, und es gilt
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe Schritt für Schritt mir vorrechnen und mir erklärt? Ich bin planlos bie dieser Aufgabe :(

Answer 1

a) zu zeigen: Für alle n∈ℕ gilt $s_{n+1} \le s_{n}$.

Also muss man zeigen

$\sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n+1}\right\} \le \sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n}\right\}$

Dabei bedeutet ja wohl $\mathbb{N}_{n} = \{ x \in \mathbb{N} | x \ge n \}$

D.h. bei dem Supremum links hast du ein Element

weniger in der Menge als rechts, also ist das

Supremum jedenfalls nicht größer. q.e.d.

Comments

Soll ich noch was zeigen oder es reicht was du mir geschrueben hast?

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Ich finde, dass das reicht für a).

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Wäre das hier bei a auch richtig oder nicht wirklich: Sei n ∈ N. Dann ist N_n = {n, n+1, n+2, ...} eine Teilmenge von N_n+1 = {n+1, n+2, n+3, ...}. Da s_n das Supremum von {a_k; k ∈ N_n} und s_n+1 das Supremum von {a_k; k ∈ N_n+1} ist, folgt daraus s_n ≤ s_n+1. Somit ist die Folge (s_n)_(n=1) bis ∞ monoton wachsend.

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Dann ist N_n = {n, n+1, n+2, ...} eine Teilmenge von Nn+1 = {n+1, n+2, n+3, ...}.

Das stimmt doch nicht ! Umgekehrt ist es.

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Das habe ich bei b. Stimmt das?

b) Da (a_n)_(n=1) bis ∞ konvergiert, existiert ein Grenzwert a := lim a_n. Sei ε > 0 beliebig aber fest. Dann existiert ein n_ε ∈ N, so dass |a_n - a| < ε für alle n ≥ n_ε. Insbesondere gilt:

a - ε < a_n ≤ s_n für alle n ≥ n_ε.

Da s_n das Supremum von {a_k; k ∈ N_n} ist, folgt daraus s_n ≤ a + ε für alle n ≥ n_ε. Somit ist (s_n)_(n=1) bis ∞ nach oben beschränkt.

Als nächstes zeigen wir, dass (s_n)(n=1) bis ∞ monoton fallend ist. Sei m ∈ N beliebig aber fest. Dann ist N_m eine Teilmenge von N{m+1}. Da s_m das Supremum von {a_k; k ∈ N_m} und s_m+1 das Supremum von {a_k; k ∈ N_m+1} ist, folgt daraus s_m+1 ≤ s_m. Somit ist (s_n)_(n=1) bis ∞ monoton fallend.

Da (s_n)(n=1) bis ∞ monoton und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach dem Monotoniekriterium. Sei s der Grenzwert von (s_n)(n=1) bis ∞. Dann gilt für alle ε > 0:

a - ε < a_n ≤ s_n ≤ s für alle n ≥ n_ε.

Daraus folgt:

lim a_n = a = s.

Somit ist auch lim s_n = lim a_n.

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Und? Kein Kommentar?