Summe von Brüchen mit Fakultäten umformen

Question

Hallo, kann mir einer erklären, warum bei dieser Vereinfachung

$$ \sum_{\substack{i=1 \\ k_{i}\geq 1}}^m \frac{(n-1)!}{k_{1}!...k_{i-1}!(k_{i}-1)!k_{i+1}!...k_{m}!} \\ = \sum_{\substack{i=1 \\ k_{i}\geq 1}}^m \frac{(n-1)!k_{i}}{k_{1}!...k_{i-1}!k_{i}!k_{i+1}!...k_{m}!} $$

im Zähler k_i und im Nenner k_i ! steht ?

Danke im Voraus

Answer 1

k sei ki

(k-1)! = k!/k

Dann mit dem Kehrwert multiplizieren -> k geht in den Zähler, K-Käse gegessen.

10! = (11-1)! = 11!/11

analog: (n-1)! = n!/n , man könnte n in den Keller= Nenner schicken. :)

Answer 2

Achte genau auf den Nenner.

In der ersten Summe fehlt \(k_i\) im Nenner.

In der zweiten Summe ist der Bruch mit \(k_i\) erweitert worden. Dadurch erscheint jetzt \(k_i\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. Aus \((k_i - 1)!\) wird dadurch \(k_i!\).

Comments

Ich habe gerade durch paar Beispiele gemerkt, dass (k_i - 1)! immer als \( \frac{k!}{k} \)geschrieben werden kann z.B ist (5-1)! dasselbe wie \( \frac{5!}{5} \), man hat also nicht erweitert, sondern nur umgeformt und dann k im Nenner mit Zähler multipliziert.

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@Hephaistos
Der Bruch ist sehr wohl mit \(k_i\) erweitert worden und dann hat man

\((k_i-1)!\cdot k_i = k_i!\) angewendet. Anders bekommst du das \(k_i\) nicht in den Zähler.

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Das ist falsch, man kann auch einfach mit dem Kehrwehrt multiplizieren, schau Dir die Antwort des anderen Kollegen an, er hat alles richtig formuliert. Man braucht nicht zu erweitern, man kann auch (k_i - 1)! als \( \frac{k!}{ki} \) umschreiben und wie ich und der andere Kollege bereits geschrieben haben dann mit Kehrwehrt multiplizieren, k_i wandert dann in den Zähler.

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@Hephaistos

Wenn du \(\frac 1{(k-1)!}\) durch \(\frac k{k!}\) ersetzt, hast du den ersten Bruch mit \(k\) erweitert, ob du das nun willst oder nicht.

Wenn du das nicht siehst, solltest du dich nicht auf mathematische Diskussionen einlassen.

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Wie kann man nur so penetrant sein und seinen Fehler nicht einstehen wollen. Ich verstehe nicht, was es da groß zu debattieren gibt:

\( \frac{1}{(ki-1)!} \) = \( \frac{1}{\frac{ki!}{ki}} \) = \( \frac{ki}{ki!} \)

Nichts anderes wurde gemacht; dass man also angeblich nur erweitern kann wie Du geschrieben hast, stimmt nicht, und ist auch schon in der Antwort eines anderen Users richtig zu lesen.

Mein letzter Kommentar, da die Frage sowieso schon beantwortet wurde. Wenn Du immer noch anderer Meinung bist - deine Sache.

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@Hephaistos
Deine Rechnung ist nichts anderes als ein Erweitern mit zusätzlichem Herumrechnen via Kehrwert.

Brüche sind nunmal genau dann äquivalent, wenn sie durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen (oder identisch sind) (dürfte 6. Klasse sein).

Ich behaupte nicht, dass die andere Lösung falsch ist. Ich weise nur darauf hin, dass eine simple Erweiterung stattgefunden hat.

Wie man auf diese Erweiterung kommt, ist an sich egal. Das kann man beliebig umständlich machen.

Wenn du mir sagst, dass meine Antwort fehlerhaft ist und du offenbar genau darauf beharrst, zeigt das nur dein mangelndes Wissen.

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Das hat mir Erweitern nichts zu tun, weil man dann nicht nur den Zähler, sondern auch den Nenner mit ki multiplizieren müsste, in meinem Fall bildet man aber einfach nur den Kehrwert und multipliziert dann ki mit dem Zähler. Nichts herumrechnen, eher zurechtbiegen deiner Antwort. Und besonders als mathematisch Geschulter, der sich noch anmaßt anderen Ratschläge zu erteilen, wann man sich in Diskussionen einzuklinken hat und wann nicht, sollte man doch bei dieser Arroganz selbst darauf kommen, was die Implikation deiner Aussage, Zitat: "Der Bruch ist sehr wohl mit \(k_i\) erweitert worden und dann hat man \((k_i-1)!\cdot k_i = k_i!\) angewendet. Anders bekommst du das \(k_i\) nicht in den Zähler" heißt, nämlich, dass nur diese Aussage wahr ist und alles andere falsch, was einfach nicht stimmt und darauf habe ich hingewiesen, nicht mehr und nicht weniger; dass man statt \( \frac{1}{(ki-1)!} \) * \( \frac{ki}{ki} \) auch \( \frac{1}{\frac{ki!}{ki}} \) = \( \frac{ki}{ki!} \) rechnen kann, obwohl von Dir behauptet nur ersteres möglich sei (Und nochmal Erweitern ≠ Kehrwert eines Bruchs mit ungleichem Zähler und Nenner).

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Egal wie du rechnest:

Am Ende ist es ein Erweitern des Bruches.

Unabhängig vom Rechenweg muss der Bruch erweitert werden.

Das ist eine mathematische Tatsache.