Substitutionen für Integrale über R(x,sqrt(1-x²)) und R(sin(y),cos(y)), wobei R eine rationale Funktion ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Polynom in zwei Variablen ist eine Linearkombination aus \( x^{k} y^{\ell} \) mit \( k, \ell \in \mathbb{N}_{0} \). Eine rationale Funktion (in einer oder zwei Variablen) ist ein Quotient aus zwei Polynomen (je in einer oder zwei Variablen).
(a) Es sei \( R \) eine rationale Funktion in zwei Variablen. Finden Sie eine geeignete Substitution, sodass Sie
\( \int R\left(x, \sqrt{1-x^{2}}\right) \mathrm{d} x \)
(auf geeigneten Intervallen) als
\( \int R_{1}(\sin y, \cos y) \mathrm{d} y \)
mit einer geeigneten (welchen?) rationalen Funktion \( R_{1} \) berechnen können.
(b) Führen Sie (für eine rationale Funktion \( R \) in zwei Variablen) vergleichbar wie in (a) das unbestimmte Integral
\( \int R(\sin y, \cos y) \mathrm{d} y \)
auf
\( \int R_{2}(t) \mathrm{d} t \)
für eine rationale Funktion \( R_{2} \) zurück.
(c) Es seien \( 0<a<b<1 \). Berechnen Sie \( \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{x \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \).

Text erkannt:

Ein Polynom in zwei Variablen ist eine Linearkombination aus \( x^{k} y^{\ell} \) mit \( k, \ell \in \mathbb{N}_{0} \). Eine rationale Funktion (in einer oder zwei Variablen) ist ein Quotient aus zwei Polynomen (je in einer oder zwei Variablen).
(a) Es sei \( R \) eine rationale Funktion in zwei Variablen. Finden Sie eine geeignete Substitution, sodass Sie
\( \int R\left(x, \sqrt{1-x^{2}}\right) \mathrm{d} x \)
(auf geeigneten Intervallen) als
\( \int R_{1}(\sin y, \cos y) \mathrm{d} y \)
mit einer geeigneten (welchen?) rationalen Funktion \( R_{1} \) berechnen können.
(b) Führen Sie (für eine rationale Funktion \( R \) in zwei Variablen) vergleichbar wie in (a) das unbestimmte Integral
\( \int R(\sin y, \cos y) \mathrm{d} y \)
auf
\( \int R_{2}(t) \mathrm{d} t \)
für eine rationale Funktion \( R_{2} \) zurück.
(c) Es seien \( 0<a<b<1 \). Berechnen Sie

Problem/Ansatz:

Folgende Frage dazu: zu a) muss ich hier einfach Substitution rückwärts machen bzw. was ist die Idee hier bei ?

Bei b) das selbe wie in a ?

Zu c) Muss man hier Substitution anwenden unter werten von a und b oder nur das ?

Ich bedanke mich im Voraus für Hilfe/Lösungsansätze oder Ideen. Liebe Grüße

Answer 1

Da die Integrale immer nur bzgl. einer der Variablen integriert werden, ist die jeweils andere als konstant zu behandeln. Ich denke, du kannst über eine trig. Substitution, z. B. \(x=\sin(\varphi)\), ein Integral der Gestalt \(R(x,\sqrt{1-x^2})\) in den zweiten Typ überführen. So substitiuiert man, weil man den trig. Pythagoras ausnutzen kann und \(1-\sin^2(\varphi)=\cos^2(\varphi)\) hat. Für Integrale über \(R(\sin(y),\cos(y))\) bietet sich eine Weierstraß-Substitution an.

Comments

Vielen lieben Dank für den Ansatz. Werde mich da mal gleich dran setzen.

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Viel Erfolg.