Ungleichung beweisen euklidisches Skalarprodukt

Question

Sei n,k ∈ |N mit k >= 2 und sei ||*|| das euklidische Skalarprodukt auf |Rⁿ. Beweisen Sie, dass für beliebige x¹,...,x^k ∈ |Rⁿ die folgende Ungleichung gilt.

\( \left\|\sum \limits_{j=1}^{k} x^{j}\right\| \leq \sum \limits_{j=1}^{k}\left\|x^{j}\right\| \).

Hat Jemand eine Ahnung, wie man das beweist?
Vielen Dank schonmal!

Comments

Höchstwahrscheinlich meinst du die euklidische Norm, die durch das "euklidische" Skalarprodukt induziert wird. Richtig?

Answer 1

Für k=2 ist das die sog. Dreicksungleichung, also

eine Eigenschaft der Norm.

Für k>2 kannst es durch vollst Ind. darauf

zurückführen.

Comments

Ich fürchte, Aufgabensteller erwartet, dass man die Dreiecks Ungleichung für diese Norm nachweist.

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@Mathhilf

Für \(k=2\) nutzt man die Eigenschaft der Norm aus, dass sie die Dreiecksuneichung erfüllt.

Für \(k>2\) eignet sich Induktion und nutzt dabei den Anfang für \(k=2\) mit der Induktionsvoraussetzung aus.

Fertig.

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In einem Skalarproduktraum definiert man

$$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$$

und muss dann für diese Definition die Dreiecksungleichung beweisen.

Das kann im Rahmen der Lehre geschehen sein oder nicht. Wenn man dies voraussetzen darf, dann ist die Aufgabe natürlich trivial.