Wie lautet ihre Prognose des Bevölkerungswachstums

Question

Aufgabe:

a)Im Jahr 1950 lebten 2.5 Milliarden Menschen auf der Erde, 1980 waren es 4.5 Milliarden. Modellieren Sie das Bevölkerungswachstum durch eine Exponentialfunktion und bestimmen Sie die Verdopplungszeit. Interpretieren Sie das Ergebnis.

b) Vergleichen Sie mit den Daten von 2005 (6.4 Milliarden) bzw. 1920 (1.8 Milliarden)

c) 2005 prognostizierten Experten bis zum Jahr 2050 einen Anstieg auf 9.1 Milliarden. Wie lautet ihre Prognose?

d) Wie groß war in ihrem Modell die Wachstumsgeschwindigkeit im Jahr 2000?

Problem/Ansatz:

a) c*a^x mit t(0)= 2.5 liefert t(0)=c*a^x= 2.5

Aber wie bekomme ich a raus?

b) t(55)=

t(-30)=

c) x=100? Muss ich da t(100) bilden?

d) Die Ableitung bilden und dann für x=50 einsetzen?

Answer 1

a) Löse das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}c\cdot a^0&=2,5\\c\cdot a^{30}&=4,5\end{aligned}\)

c) Berechne \(t(100)\)

d) Die Ableitung bilden und dann für x=50 einsetzen.

Comments

c=2.5

2.5*a^30=4.5

a^30=4.5/2.5

Wie ziehe ich hier den Logarithmus?

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Wie ziehe ich hier den Logarithmus?

So wie immer:

    \(\log (a^{30}) = \log(4.5/2.5)\).

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Wie ziehe ich hier den Logarithmus?

Wieso Logarithmus? Willst du zu einem Exponenten auflösen?

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Ich wollte das a haben

Aber stimmt ich muss die 30ste-Wurzel ziehen richtig?

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Aber stimmt ich muss die 30ste-Wurzel ziehen richtig?

Genau. Kontroll-Lösung lege ich anbei.

Answer 2

a) Im Jahr 1950 lebten 2.5 Milliarden Menschen auf der Erde, 1980 waren es 4.5 Milliarden. Modellieren Sie das Bevölkerungswachstum durch eine Exponentialfunktion und bestimmen Sie die Verdopplungszeit. Interpretieren Sie das Ergebnis.

f(x) = a·b^x
b = (4.5/2.5)^(1/30) = 1.01979

f(x) = 2.5·1.01979^x

b) Vergleichen Sie mit den Daten von 2005 (6.4 Milliarden) bzw. 1920 (1.8 Milliarden)

f(-30) = 1.389 Milliarden Menschen
f(55) = 7.346 Milliarden Menschen

c) 2005 prognostizierten Experten bis zum Jahr 2050 einen Anstieg auf 9.1 Milliarden. Wie lautet ihre Prognose?

6.4·1.01979^45 = 15.46 Milliarden Menschen

d) Wie groß war in ihrem Modell die Wachstumsgeschwindigkeit im Jahr 2000?

f'(50) = 0.1305 Milliarden Menschen pro Jahr

Answer 3

a) f(x) = 2,5*e^(k*t)

f(30) = 4,5

2,5*e^(k*30) = 4,5

e^(30k) = 4,5/2,5= 45/10*10/25 =45/25 = 9/5 = 1,8

k= ln1,8/30 = 0,0195929

e^(k*t) = 2

t= ln2/k = 35,38 Jahre

b) k= ln(6,4/1,8)/85 =0,0149237

Das Wachstum verlief langsamer.

c) 6,4*e^(0,0195929*45) = 15,46

d) f '(50) = ...

mit f(x) = 2,5*e^(0,0195929*x)