Bestimmen Sie die Grenzwerte ohne Verwendung der Regel von Bernoulli - de l'Hospital

Question

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte ohne Verwendung der Regel von Bernoulli - de l'Hospital:

a) \( \lim \limits _ { x \rightarrow 7 } \frac { 2 - \sqrt { x - 3 } } { x ^ { 2 } - 49 } \)

Lösung ist -1/56

b) \( \lim \limits _ { x \rightarrow \pi / 4 } \frac { \sin ( x ) - \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) } \)

Lösung ist -1/2 *√2 bzw. -1/√2

Die Lösung zu einer der beiden Aufgaben würde mir schon reichen, damit ich ein Beispiel habe und weiß, was ich tun muss.

Bald steht die Klausur an und ich bin im dritten Versuch und möchte ungern in die mündliche Prüfung.

Answer 1

Nur ein paar Hinweise:

Zur Aufgabe 1:
Die dritte binomische Formel im Nenner benutzen und danach den ganzen Bruch mit 2+√(x-3) erweitern.

Zur Aufgabe 2:
cos x ausklammern - der Bruch kürzt sich dann entsprechend nach 1-tan(x) weg und man hat den Grenzwert stehen.

In etwa so:

$$ \left.\begin{aligned} & = \frac { \sin ( x ) - \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) } \\ & = \frac { \left( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } - 1 \right) · \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) } \\ & = \frac { ( \tan ( x ) - 1 ) · \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) } \\ & = \frac { - ( 1 - \tan ( x ) ) · \cos ( x ) } { 1 - \tan ( x ) } \\ & = \frac { - 1 · \cos ( x ) } { 1 } = - \cos ( x ) \end{aligned} \right. $$

Comments

Erstmal danke für die Antwort. Aufgabenteil b) hatte ich nun in der Zwischenzeit auch gelöst.

Aber bei Aufgabenteil a) wird mir nicht klar, was mir die binomische Formel und das erweitern genau bringt.

Ich habe es mal ausprobiert. Aber wirklich weiter bringen tut es mich nicht. Vielleicht habe ich auch noch nen Fehler gemacht.

Aber zumindest weiß ich ja jetzt wie das mit Aufgabenteil b) funktioniert.

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Habe mal die a) versucht so auszurechnen, wie es in den Kommentaren steht, komme dabei aber nicht weiter. Das im Nenner die dritte binomische Formel steht, sehe ich. Aber wie kann ich den Zähler umformen, damit ich kürzen kann? Mit der vorgeschlagenen Erweiterung des Zählers komme ich nicht so recht weiter.Mit L'Hospital kann ich die Aufgabe, aber den soll ich ja hier nicht verwenden.

Answer 2

Also bei x² - 49 sehe ich die dritte binomische Formel!

(x+7)*(x-7) = x² - 49

Wenn man jetzt den Zähler oben umformt, kann man vielleicht was wegkürzen!

Hilft das schon weiter?

Comments

Irgendwie hilft mir das leider nicht weiter. Trotzdem danke für die Antwort.

Vielleicht weiss jemand anders eine Antwort zu der Aufgabe?

Answer 3

Ich weiß nicht, ob es so richtig Sinn macht, man könnte es auch mit der Zerlegung der Grenzwerte für gebrochenrationale Funktionen probieren, nur leider komme ich damit nicht so auf deine vorgegebene Lösung.