Aussagen über Cosinusfunktion mittels Additionstheorem beweisen

Question

Hallo zusammen.

Ich soll folgende Aufgaben lösen:

$$\text{ Beweisen Sie folgende Aussagen für x ∈ R unter Verwendung des Additionstheorems für die Cosinusfunktion. }$$

$$\text{ (a) } cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos(2x))$$

$$\text{ (b) } cos^4x-sin^4x=cos(2x)$$

Ich habe folgende Ansätze für beide Aufgaben:

(a)

$$\frac{1}{2}(1+cos(2x))\\=\frac{1}{2}(1+cos(x+x))\\=\frac{1}{2}(1+cos(x)\cdot cos(x)-sin(x) \cdot sin(x))\\ =\frac{1}{2}(1+cos^2x-sin^2x)$$

(b)

$$cos(2x)\\=cos^2x-sin^2x$$

Leider weiß ich bei beiden Aufgaben nicht, wie ich nun weiterverfahren soll.

Answer 1

1/2·(1 + COS(2·x))
= 1/2·(1 + COS(x + x))
= 1/2·(1 + COS(x + x))

Nutze: COS(x + x) = COS(x)·COS(x) - SIN(x)·SIN(x) = COS^2(x) - SIN^2(x)

= 1/2·(1 + COS^2(x) - SIN^2)

Nutze: SIN^2(x) = 1 - COS^2(x)

= 1/2·(1 + COS^2(x) - (1 - COS^2(x)))
= 1/2·(1 + COS^2(x) - 1 + COS^2(x))
= 1/2·(2·COS^2(x))
= COS^2(x)

Comments

COS(2·x)
= COS(x + x)

Nutze: COS(x + x) = COS(x)·COS(x) - SIN(x)·SIN(x) = COS^2(x) - SIN^2(x)

= COS^2(x) - SIN^2(x)
= (COS^2(x) - SIN^2(x))·1

Nutze: COS^2(x) + SIN^2(x) = 1

= (COS^2(x) - SIN^2(x))·(COS^2(x) + SIN^2(x))
= COS^4(x) - SIN^4(x)

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Vielen Dank!