Wie zeigt man dass eine Teilmenge des Vektorraums ein Unterraum ist?

Question

Aufgabe:

Ist die Teilmenge des Vektorraums \( ℝ^{3} \) ein Unterraum?

V = {\( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \) ∈ \( R^{3} \) | v_1 + v_2 = 2   }

Problem/Ansatz:

Wie kann man das beweisen?

Answer 1

Aloha :)

Alle Vektoren der Menge \(V\) müssen die Bedingung \(v_1+v_2=2\) bzw. \(\pink{v_2=2-v_1}\) erfüllen. Damit können wir alle Vektoren der Menge \(V\) hinschreiben:$$\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_2}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{2-v_1}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+v_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Jeder Untervektorraum muss einen Ursprung haben, also den Nullvektor enthalten.

Damit die dritte Komponente Null wird, muss \(v_3=0\) gelten. Damit die erste Komponente Null wird, muss \(v_1=0\) sein. Dann ist die zweite Komponente gleich \(2\), also ungleich \(0\).

Daher ist \(\vec v\ne\vec 0\) für alle \(v_1,v_3\in\mathbb R\).

Die Menge \(V\) ist daher kein Unterraum.

Comments

Wie hast du auf die Komponenten bei v_1 und v_2 geschlossen?

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Die dritte Komponente ist bei den ersten beiden Vektoren \(=0\). Damit sie beim dritten Vektor auch \(=0\) bleibt, muss \(v_3=0\) gelten.

Die erste Komponente ist beim ersten und beim dritten Vektor \(=0\). Damit sie beim zweiten Vektor auch \(=0\) bleibt, muss \(v_1=0\) gelten.

Daher ist \(v_1=0\) und \(v_3=0\) die einzige Kombination mit einem möglichen Nullvektor als Ergebnis. Die zweite Komponente ist in diesem Fall jedoch \(=2\), sodass auch diese einzig mögliche Kombination wegfällt.

\(\vec v\) wird daher niemals zu \(\vec 0\).

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Und die Vektoren v_1 (1,-1,0) und v_3(0,0,1) sind frei gewählt?

Vielen Dank für deine Hilfe

Answer 2

Das ist keiner. Der 0-Vektor ist nicht dabei.

Answer 3

Nein, denn \((1,1,0)^T\) ist zwar in \(V\), nicht aber \(2\cdot (1,1,0)^T\), im Widerspruch zur Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation. Stünde dort statt der 2 eine 0, so wäre es ein UVR.

Answer 4

Text erkannt:

1. Prüfe als erstes, ob der Nullvektor (bzw. Nullelement) in \( U \) enthalten ist.
\( \Rightarrow 0 \in U \)
2. Prüfe ob die Summe, zweier in \( U \) enthaltener Vektoren, wiederum in \( U \) liegt.
Oft hilft es hierfür zwei allgemeine Vektoren \( u, v \in U \) einzuführen, diese zu addieren und anschließend zu prüfen, ob das Ergebnis in \( U \) enthalten ist.
\( \Rightarrow \) Für \( u, v, \in U \) gilt \( u+v \in U \)
3. Prüfe ob ein beliebiges Vielfaches, der Elemente aus \( U \), wieder in der Menge liegt.
Es kann helfen hierfür einen allgemeinen Vektor \( u \in U \) und ein Skalar \( \lambda \in \mathbb{R} \) einzuführen und zu prüfen ob \( \lambda \cdot v \) in \( U \) enthalten ist.
\( \Rightarrow \) Für \( v \in U \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \) gilt \( \lambda \cdot v \in U \) ?