Aloha :)
$$S\coloneqq\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+4}{n^2-3n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+4}{n(n-3)+1}$$
Für \(n=1\) und \(n=2\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ. Daher ziehen wir diese beiden Werte aus der Summe raus:$$\small S=\frac{1+4}{1\cdot(1-3)+1}+\frac{2+4}{2\cdot(2-3)+1}+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n(n-3)+1}=-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n^2-(3n-1)}$$
Da in der Summe nun \((n\ge3)\) gilt, ist \((3n-1)>0\), wir ziehen im Nenner von \(n^2\) also etwas ab. Wenn wir diesen Term weglassen, wird der Nenner größer, wodurch der Bruch kleiner wird:$$S>-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n^2}$$
Der Bruch wird auch kleiner, wenn wir den Zähler verkleinern, indem wir die \(4\) weglassen:$$S>-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n}{n^2}=-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac1n\to\infty$$
Da die harmonische Reihe divergiert, gilt dies auch für die Summe \(S\).
