0 Daumen
299 Aufrufe

Bildschirmfoto 2023-05-24 um 19.35.48.png

Text erkannt:

3. Gegeben ist ein bezüglich der \( \mathrm{x} \)-Achse rotationssymetrisches Glas. Der obere Rand wird von der Funktion h mit \( h(x)=\cos (a x)+b \) beschrieben, wobei \( x \in[0.5 ; 3.5] \) und \( a, b \in \mathbb{R} \) ist. Der Querschnitt des Zylinders ist in folgender Abbildung dargestellt.
(a) Berechnen sie a und b so, dass die Breite des Glases an der Stelle \( x=\frac{\pi}{2} \) maximal ist.
(b) Bestimmen sie für \( a=2 \) und \( b=2,5 \) das Volumen des Glases.
Hinweis: \( 1=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x) \)

Würde meine Antwort hier so ausreichen? Ich verzweifle

bei a) habe ich folgendes gedacht:

Um die Breite des Glases an der Stelle x = π/2 zu maximieren, müsste ich den Scheitelpunkt der Funktion h(x) finden. Da h(x) = cos(ax) + b eine cosinusförmige Funktion ist, befindet sich der Scheitelpunkt bei x = 0. Um den Faktor a zu berechnen, betrachten wir die Ableitung der Funktion h(x).

h'(x) = -a * sin(ax)

Setzen wir x = 0 ein:

h'(0) = -a * sin(0) = 0

Da der Ableitungswert an der Stelle x = 0 gleich 0 sein muss, wüsste ich dann, dass a * sin(0) = 0. Die Sinusfunktion hat bei x = 0 ein Maximum oder Minimum, also sin(0) = 0. Das bedeutet, dass a beliebig sein kann.

Um b zu berechnen, habe ich x = π/2 in die Funktion h(x) eingesetzt:

h(π/2) = cos(a * π/2) + b

Um die Breite des Glases zu maximieren, muss der Cosinuswert maximal sein, was bei cos(0) = 1 der Fall ist. Daher setzen wir a * π/2 = 0 und lösen nach b auf:

h(π/2) = cos(0) + b
1 = 1 + b
b = 0

Die Werte a = beliebig und b = 0 erfüllen die Bedingung, dass die Breite des Glases an der Stelle x = π/2 maximal ist.

h'(x) = -a * sin(ax)

Setzen wir x = 0 ein:

h'(0) = -a * sin(0) = 0

Da der Ableitungswert an der Stelle x = 0 gleich 0 sein muss, wissen wir, dass a * sin(0) = 0. Die Sinusfunktion hat bei x = 0 ein Maximum oder Minimum, also sin(0) = 0. Das bedeutet, dass a beliebig sein kann.

Um b zu berechnen, setzen wir x = π/2 in die Funktion h(x) ein:

h(π/2) = cos(a * π/2) + b

Um die Breite des Glases zu maximieren, muss der Cosinuswert maximal sein, was bei cos(0) = 1 der Fall ist. Daher setzen wir a * π/2 = 0 und lösen nach b auf:

h(π/2) = cos(0) + b
1 = 1 + b
b = 0

Die Werte a = beliebig und b = 0 erfüllen die Bedingung, dass die Breite des Glases an der Stelle x = π/2 maximal ist.




bei b) habe ich folgendes:


Um das Volumen des Glases zu berechnen, müssen wir den Querschnitt des Zylinders integrieren. Der Querschnitt wird durch die Funktion h(x) = cos(ax) + b beschrieben.


Für a = 2 und b = 2,5 haben wir:

h(x) = cos(2x) + 2,5

Die maximale Höhe des Glases h_max ergibt sich, wenn h(x) = 0, also:

0 = cos(2x) + 2,5

--> cos(2x) = -2,5 und nach x auflösen

Angenommen, wir erhalten die Lösungen x_1 ≈ 0,573 und x_2 ≈ 2,568.

Das Volumen des Glases ergibt sich dann zu:

V = ∫(von 0,573 bis 2,568) [π * (cos(2x) + 2,5)^2] dx
Bildschirmfoto 2023-05-24 um 19.35.48.png

Text erkannt:

3. Gegeben ist ein bezüglich der \( \mathrm{x} \)-Achse rotationssymetrisches Glas. Der obere Rand wird von der Funktion h mit \( h(x)=\cos (a x)+b \) beschrieben, wobei \( x \in[0.5 ; 3.5] \) und \( a, b \in \mathbb{R} \) ist. Der Querschnitt des Zylinders ist in folgender Abbildung dargestellt.
(a) Berechnen sie a und b so, dass die Breite des Glases an der Stelle \( x=\frac{\pi}{2} \) maximal ist.
(b) Bestimmen sie für \( a=2 \) und \( b=2,5 \) das Volumen des Glases.
Hinweis: \( 1=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x) \)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Oh. Weh. Lehrer sind auch nicht mehr das, was sie einmal waren.

a) Berechnen Sie a und b so, dass die Breite des Glases an der Stelle x = pi/2 maximal ist.

h(x) = COS(a·x) + b
h'(x) = -a·SIN(a·x)
h'(pi/2) = -a·SIN(a·pi/2) = 0 → a = 2 (Die Breite des Glases wird hier nicht maximal sondern minimal wie es in der Skizze erkennbar ist.)

b ist so nicht bestimmbar. Dann hätte noch die Breite gegeben werden müssen.

b) Bestimmen Sie für a = 2 und b = 2.5 das Volumen des Glases.

h(x) = COS(2·x) + 2.5

V = ∫ (0.5 bis 3.5) (pi·(COS(2·x) + 2.5)^2) dx = 62.20 VE

Avatar von 487 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community