Aufgabe:
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Welchen Winkel schließen zwei Vektoren a⃗ \vec{a} a und b⃗ \vec{b} b ein, wenn folgende Aussage gilt? Begründe deine Antwort mithilfe einer Skizze.1) a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| a⋅b=∣a∣⋅∣b∣2) a⃗⋅b⃗=−∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \vec{a} \cdot \vec{b}=-|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| a⋅b=−∣a∣⋅∣b∣3) a⃗⋅b⃗=12⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2} \cdot|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| a⋅b=21⋅∣a∣⋅∣b∣
Problem/Ansatz:
Kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen, bzw. die erste Bsp lösen.Danke im voraus!
Aloha :)
Allgemein gilt:a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(∠(a⃗;b⃗))\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\left(\angle(\vec a;\vec b)\right)a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(∠(a;b))
Du kannst also für die Teilaufgaben den Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren a⃗\vec aa und b⃗\vec bb direkt ablesen.
1) ⟹ cos(∠(a⃗;b⃗))=1 ⟹ ∠(a⃗;b⃗)=0∘1)\implies\cos\left(\angle(\vec a;\vec b)\right)=1\implies\angle(\vec a;\vec b)=0^\circ1)⟹cos(∠(a;b))=1⟹∠(a;b)=0∘2) ⟹ cos(∠(a⃗;b⃗))=−1 ⟹ ∠(a⃗;b⃗)=180∘2)\implies\cos\left(\angle(\vec a;\vec b)\right)=-1\implies\angle(\vec a;\vec b)=180^\circ2)⟹cos(∠(a;b))=−1⟹∠(a;b)=180∘3) ⟹ cos(∠(a⃗;b⃗))=12 ⟹ ∠(a⃗;b⃗)=60∘3)\implies\cos\left(\angle(\vec a;\vec b)\right)=\frac12\implies\angle(\vec a;\vec b)=60^\circ3)⟹cos(∠(a;b))=21⟹∠(a;b)=60∘
Bekanntlich gilt
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗,b⃗) \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot cos\angle (\vec{a} ,\vec{b})a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos∠(a,b).
Wenn das bei 1) zu
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| a⋅b=∣a∣⋅∣b∣ wird, dann muss der Faktor cos∠(a⃗,b⃗) \ cos\angle (\vec{a} ,\vec{b}) cos∠(a,b) den Wert 1 gehabt haben.
Für welchen Winkel gilt denn das?
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