Monotonie bestimmen?

Question

Ich habe ein Problem mit Mathe..

Zuvor sollte ich die Monotonie bei einer Funktion f(x) = x³ - 4x² + 4x bestimmen.
Da muss man ja f ' (x) bestimmen dann PQ anwenden dann habe ich 2 Extremstellen.

Diese Setze ich nun in die 2. Ableitung ein und weiss ob fallend oder steigend.

Doch bei dieser Funktion:
f(x) = 1 / (1+x)
Die 1. Ableitung:

f ' (x) = - 1 / (x + 1)²

Aber hier ist es ja nicht möglich eine PQ abzuwenden.
Wenn ich jedoch f ' (0) einsetze kommt -1 raus.
In meinen Unterlagen heißt es:
f ' (x) < 0 = Streng monoton fallend.

Zeichnet man diese Funktion, scheint dies korrekt.. Also ist diese Aufgabe korrekt gelöst?

Comments

Ein weiteres Problem:
f(x) = (cos(x) - sin(x)) * e^x
f ' (x) = e^x (cos(x) - sin(x)) - e^x (cos(x) + sin(x))

aufgelöst auf x bekomme ich 0 raus.
Also ist eine extremstelle bei 0, jedoch wie kann ich nun die Monotonie bestimmen?
Oh was noch wichtig ist: Wertebereich: 0 - pi

beim Plotter ist es klar fallend.

Aber wie geht es nun weiter? Muss ich nun raten ob es dann fallend weiter geht indem ich werte > 0 einsetze?
 

Denn f ' ' (0) = -2 das würde heißen monoton wachsend...




 

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Hallo Timor, vielleicht ist es besser deinen Kommentartext als
Frage neu zu stellen.

  mfg Georg

Answer 1

Hallo Timori,

" Zuvor sollte ich die Monotonie bei einer Funktion f(x) = x³ - 4x² + 4x bestimmen.
Da muss man ja f ' (x) bestimmen dann PQ anwenden dann habe ich 2 Extremstellen. "

So weit so gut. Falsch ist allerdings :
" Diese Setze ich nun in die 2. Ableitung ein und weiss ob fallend oder steigend. "

Durch das Einsetzen der Extremwerte in die 2.Ableitung kannst du feststellen
ob der Extrempunkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
f ´´ ( x ) < 0 : Hochpunkt
f ´´ ( x ) > 0 : Tiefpunkt

Die Monotonie könnte man dann festlegen durch
links vom Tiefpunkt : fallend
rechts vom Tiefpunkt : steigend
links vom Hochpunkt : steigend
rechts vom Hochpunkt : fallend

" Doch bei dieser Funktion:
f(x) = 1 / (1+x)
Die 1. Ableitung:
f ' (x) = - 1 / (x + 1)²  "

Extrempunkt :
f ´( x ) = 0
-1 / ( x + 1 )^2 = 0
Ein Bruch ist dann null wenn der Zähler null ist.
Der Zähler ist stets -1. Der Bruch kann nie null werden.
Es gibt keinen Extrempunkt.

Monotonie :
steigend : 1.Ableitung positiv
f ´( x ) = -1 / ( x + 1 )^2 > 0 l das heißt
( x + 1 )^2 < 0  l -1 geteilt durch was negaitives wird > 0
( x + 1)^2 ist aber stets positiv.. Daraus folgt :
Die Monotonie ist nie positv. Die Funktion ist
stets fallend.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Ich hab dies mal mit meinen Unterlagen verglichen und ja es stimmt. es gibt keine Extremstelle.
Dankeschön